где
f
k
(
m
)
=
(
−
1)
k
−
1
θ
(
T
(
m
,
h
1
,
. . .
,
h
∨
k
,
. . .
,
h
n
))
,
из которого следует
утверждение леммы. Заметим, что последнее равенство означает ко-
нечно-порожденность идеала
M
.
Теорема.
Пусть
A
—
коммутативная полупростая алгебра Фре-
ше,
M
—
ее замкнутый максимальный идеал гомологической размер-
ности
n
−
1
.
Если все проективные модули Фреше над
A
свободны,
то
dim
(
M/M
2
)
=
n
.
Доказательство.
По лемме 1 имеет место нестрогое неравенство.
Требуется показать, что справедливо равенство. Рассмотрим нормали-
зованную проективную резольвенту модуля
M
:
0
←−−−
M
π
←−−−
. . .
d
n
−
3
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
1)
d
n
−
2
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
)
←−−−
. . .
,
⏐⏐
⏐⏐
d
n
−
2
Ker
d
n
−
3
Im
d
n
−
2
где
M
(
n
)
=
M
ˆ
⊗ · · ·
ˆ
⊗
M
.
По условию модуль
Ker
d
n
−
3
проективен и свободен. При
n
=
2
получаем проективность и свободность модуля
Ker
π
:
0
←−−−
M
π
←−−−
A
ˆ
⊗
M
d
0
←−−−
A
ˆ
⊗
M
ˆ
⊗
M
←−−−
. . .
⏐⏐
⏐⏐
d
0
Ker
π
Im
d
0
Теперь рассмотрим алгебру
A
как модуль над собой. Для моду-
ля
A
нормализованная резольвента расщепима вследствие его проек-
тивности:
0
←−−−
A
π
A
←−−−
. . .
d
A
n
−
3
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
d
A
n
−
2
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
1)
ˆ
⊗
A
,
⏐⏐
⏐⏐
d
A
n
−
2
Ker
d
A
n
−
3
Im
d
A
n
−
2
и модуль
Ker
d
A
n
−
3
тоже свободен. Рассмотрим вместе нормализован-
ные проективные резольвенты модулей
M
и
A
.
Морфизм
d
n
−
2
яв-
ляется ограничением морфизма
d
A
n
−
2
на модуль
A
ˆ
⊗
M
n
−
1
,
поэтому
существует естественное вложение модулей
α
:
Ker
d
n
−
3
−→
Ker
d
A
n
−
3
,
которое индуцирует отображение фактор-пространств
ˆ
α
:
Ker
d
A
n
−
3
M
Ker
d
A
n
−
3
ˆ
α
←−−−
Ker
d
n
−
3
M
Ker
d
n
−
3
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
157