Лемма
1
.
Пусть
A
—
коммутативная полупростая алгебра
Фреше, а
M
—
ee замкнутый максимальный идеал, такой, что
dh
M
=
n
−
1
.
Тогда
dim
(
M/M
2
)
≤
n
.
Доказательство.
Условие, наложенное на гомологическую размер-
ность для проективной резольвенты, имеет вид
0
←−−−
M
π
←−−−
. . .
d
n
−
3
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
1)
d
n
−
2
←−−−
. . .
Здесь
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
1)
=
A
ˆ
⊗
M
ˆ
⊗ · · ·
ˆ
⊗
M
означает проективность модуля
Ker
d
n
−
3
.
Возьмем
n
линейно независимых элементов
h
1
,
. . .
,
h
n
идеала
M
и соответствующие им функционалы:
τ
1
,
. . .
,
τ
n
,
τ
i
(
e
)
=
τ
i
(
M
2
)
=
0,
τ
i
(
h
j
)
=
δ
ij
.
В сопряженном к тензорному произведению
A
(
n
)
=
A
ˆ
⊗ · · ·
ˆ
⊗
A
про-
странстве рассмотрим функционал
F
=
τ
1
ˆ
⊗ · · ·
ˆ
⊗
τ
n
.
Тогда при огра-
ничении
F
на ядро морфизма
d
n
−
3
в резольвенте модуля
M
имеем
F
(
M
Ker
d
n
−
3
)
=
0
,
что легко проверить, используя явный вид эле-
ментов Ker
d
n
−
3
.
Следовательно, ограничение
F
—
морфизм, который
не тривиален на элементе ядра
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
,
определяемом как
σ
(
−
1)
σ
h
σ
(1)
⊗ · · · ⊗
h
σ
(
n
)
.
Суммирование здесь ведется по всем перестановкам
σ
чисел
1,
. . .
,
n
,
и
F
(
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
))
=
1.
Условие
dh
M
=
n
−
1
влечет проективность модуля
Ker
d
n
−
3
и раз-
решимость следующей задачи подъема:
Ker
d
n
−
3
F
⏐⏐
A
χ
−−−→
C
,
где
χ
—
характер, заданный точкой
M
.
Следовательно, существует морфизм
θ
,
замыкающий диаграмму
до коммутативной, т. е.
χ
◦
θ
=
F
.
Отсюда
θ
(
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
))
=
1
−
m
0
для
m
0
∈
M
.
Для любого
m
∈
M
из тождества (галочка сверху означает
отсутствие переменной)
mT
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
=
n
k
=
1
(
−
1)
k
−
1
h
k
T
(
m
,
h
1
,
. . .
,
h
∨
k
,
. . .
,
h
n
)
получаем равенство
m
(
e
−
m
0
)
=
n
k
=
1
h
k
f
k
(
m
),
156
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012