морфизм
ρ
,
т. е.
π
◦
ρ
=
1
P
,
и сквозное отображение тождественно
в следующей диаграмме:
P
ρ
−−−→
A
ˆ
⊗
P
π
−−−→
P
.
Всякий свободный модуль проективен.
Гомологической размерностью модуля
M
называется число, обо-
значаемое
dh
M
и равное длине самой короткой проективной резоль-
венты этого модуля [4].
Коммутативная алгебра Фреше
A
как частный случай алгебры
Аренса — Майкла является обратным пределом системы сопутству-
ющих банаховых алгебр, каждая из которых, по определению, есть
пополнение по фактор-преднорме результата факторизации алгебры
по ядру преднормы [5].
Алгебра Аренса — Майкла обладает
спектром
,
т. е. множеством
непрерывных нетривиальных характеров, ядра которых отождествля-
ются с замкнутыми максимальными идеалами. На спектре
Ω
вводится
топология Гельфанда, индуцируемая слабой топологией сопряженно-
го пространства.
Для коммутативной полупростой алгебры Фреше
A
определено
преобразование Гельфанда
Γ
,
непрерывно вкладывающее алгебру
A
в равномерную алгебру Фреше непрерывных на спектре
Ω
функ-
ций
C
(
Ω
)
:
Γ
:
A
−→
C
(
Ω
) :
a
→
f
a
.
Это позволяет рассматривать элементы
a
алгебры как функции
f
a
на спектре:
f
a
(
M
)
=
a
+
M
∈
C
.
Здесь
M
∈
Ω
—
замкнутый максимальный идеал в алгебре
A
,
име-
ющий единичную коразмерность. Функции
C
(
Ω
)
разделяют точки
спектра.
Обозначим через
M
2
замыкание линейной оболочки множества
{
ab
,
a
,
b
∈
M
}
.
Для категории банаховых модулей над банаховой ал-
геброй, являющейся частным случаем рассматриваемой категории,
Л. И. Пугач в работе [6] показал, что если ее максимальный идеал
M
имеет гомологическую размерность
dh
M
=
n
−
1
,
то размерность
фактор-пространства
dim
(
M/M
2
)
n
.
Если же имеет место равен-
ство
dim
(
M/M
2
)
=
n
,
то в спектре банаховой алгебры существу-
ет окрестность, являющаяся
n
-
мерным аналитическим диском, т. е.
спектр банаховой алгебры в этом случае локально устроен так же, как
спектр алгебры голоморфных функций. Докажем теорему о том, что
именно этот случай реализуется при совпадении свойств свободности
и проективности модулей Фреше.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
155