УДК 517.98
А . В . Ма с т и х и н
О СВОБОДНЫХ И ПРОЕКТИВНЫХ МОДУЛЯХ
ФРЕШЕ
Рассмотрено условие совпадения гомологических свойств проек-
тивности и свободности топологических модулей Фреше над ал-
геброй Фреше. Получена связь между гомологической размерно-
стью максимального замкнутого идеала и размерностью его фак-
тор-пространства по существенному подмодулю.
E-mail:
mastihin@yandex.ru
Ключевые слова:
гомологическая размерность, максимальный замкну-
тый идеал, свободные модули Фреше.
Согласно работе [1], конечно-порожденные проективные модули
над алгеброй непрерывных функций на многообразии могут быть
отождествлены с векторными расслоениями на нем. Те из модулей,
которые являются, кроме того, свободными, отождествляются с три-
виальными векторными расслоениями. Если над многообразием нет
нетривиальных расслоений, то все проективные конечно-порожден-
ные модули Фреше над этой алгеброй свободны, как доказано в ра-
боте [2]. Там же построен пример несвободного, но проективного
конечно-порожденного модуля для многообразия с нетривиальным
расслоением.
Для банаховых алгебр замкнутые максимальные идеалы, задавае-
мые точками границы Шилова, проективны, но не свободны [3]. По-
этому в теории банаховых алгебр невозможно условие свободности
всех проективных модулей. Цель настоящей работы — обобщая неко-
торые результаты банаховой теории, выяснить особенности указанно-
го гомологического условия.
Пусть
A
—
алгебра Фреше
,
т. е. полное метризуемое простран-
ство, снабженное структурой алгебры, причем алгебраические опе-
рации в нем непрерывны. Будем рассматривать полупростые комму-
тативные алгебры с единицей [4, 5]. Определим
модуль Фреше
над
алгеброй
A
как полное метризуемое локально выпуклое пространство
с совместно непрерывным внешним умножением на элементы алгеб-
ры
A
(
ниже рассматриваются только модули Фреше).
Примером модуля Фреше над алгеброй
A
является локально вы-
пуклое пространство, реализуемое как проективное тензорное произ-
ведение
A
ˆ
⊗
E
для некоторого метризуемого пространства
E
.
Такие
модули называются
свободными
.
Для всякого модуля
P
над
A
определена каноническая проекция
π
:
A
ˆ
⊗
P
→
P
,
переводящая элементарный тензор
a
⊗
x
∈
A
ˆ
⊗
P
в про-
изведение
ax
∈
P
,
где
a
∈
A
,
x
∈
P
.
Модуль
P
называется
проек-
тивным
,
если к канонической проекции существует правый обратный
154
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012