ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
145
Для произведения обобщенной функции
( )
w
ξ
на бесконечно
дифференцируемую
( )
f
ξ
справедливо равенство
( , ) ( ,
),
fw w f
ϕ
ϕ
=
где ( )
ϕ ξ
—
основная функция.
Применив эту формулу к выражению
*
(
),
u u u
δ
−
получим
(
)
(
)
(
)
*
*
*
*
*
*
(
), ( )
(
),
( )
(
), ( ) ,
u u u u
u u u u u u u u u
δ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
ϕ
−
= −
=
=
−
или
*
*
*
(
)
(
).
u u u u u u
δ
δ
− =
−
Следовательно,
(
)
*
*
( ) (
)
.
u
u c u u c
u s
t
ρ δ
ρ
λ
∂
⎡
⎤
Δ
− +
= ∇ ∇ +
⎣
⎦
∂
Изменение количества теплоты связано с температурой тела со-
отношением
( ).
Q c u
ρ
= Δ
Если в результате поглощения телом теплоты температура изме-
няется на
u
Δ
,
то формула приобретает вид
.
Q c u
ρ
= Δ
Однако теплота, выделяемая (поглощаемая) при фазовом перехо-
де, обусловлена изменением
c
ρ
,
а не температуры. Температура
обеих фаз при фазовом переходе одинакова и равна
*
.
u
При измене-
нии состояния вещества скачкообразно изменяются его физические
свойства (
c
и
ρ
),
вследствие чего и выделяется (поглощается) теп-
лота. Поэтому теплота фазового перехода
*
( ) .
Q c u
ρ
= Δ
Таким образом, уравнение теплопроводности принимает вид
(
)
*
(
)
,
u
Q u u c
u s
t
δ
ρ
λ
∂
⎡
⎤
− +
= ∇ ∇ +
⎣
⎦
∂
т. е. приходим к уравнению (1).
Начальное условие
( , , , 0) ( , , )
u x y z
x y z
ϕ
=
(2)
зависит от типа мерзлоты (сплошная, линзовая, островная и т. д.).
Краевые условия зададим следующим образом. На верхней гра-
нице расчетной области
0
z
=
происходит конвективный теплообмен