144
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
фазового перехода соответственно;
( , , , )
s x y z t
—
мощность внутрен-
них источников теплоты.
Слагаемое
*
(
)
Q u u
δ
−
описывает фазовые превращения в грунте.
Уравнение (1) может быть получено следующим образом. Как извест-
но, обычное неоднородное уравнение теплопроводности имеет вид
(
)
( )
.
c u
u s
t
ρ
λ
∂
= ∇ ∇ +
∂
Если в среде отсутствуют фазовые переходы, то произведение
c
ρ
можно вынести за знак производной по времени:
(
)
.
u c
u s
t
ρ
λ
∂ = ∇ ∇ +
∂
В случае же наличия фазовых переходов множитель
c
ρ
зависит
от времени (в определенный момент времени вода может превра-
титься в лед и значение этого множителя изменится). Дифференци-
руя по времени произведение двух функций, получаем
(
)
( )
.
c
u
u
c
u s
t
t
ρ
ρ
λ
∂
∂ +
= ∇ ∇ +
∂
∂
Произведение
c
ρ
зависит от времени не явно, а как сложная
функция:
( ( , ))
c f u x t
ρ
=
.
Поэтому
( )
( ) .
c
c u
t
u t
ρ
ρ
∂
∂ ∂
=
∂
∂ ∂
Таким образом, имеем
(
)
( )
.
c
u
u
c
u s
u
t
ρ
ρ
λ
∂
∂
⎡
⎤
+
= ∇ ∇ +
⎢
⎥
⎣
⎦
∂
∂
Согласно определению, фазовые переходы первого рода характе-
ризуются скачкообразным изменением физических характеристик
состояния системы. В частности, в точке фазового перехода
*
u u
=
величина
c
ρ
изменяется скачком. Как известно из теории обобщен-
ных функций, производная ступенчатой функции равна
δ
-
функции,
умноженной на высоту ступеньки (величину скачка):
*
( )
Δ( ) (
).
c
c u u
u
ρ
ρ δ
∂ =
−
∂
Следовательно,
(
)
*
Δ( ) (
)
.
u
u c u u c
u s
t
ρ δ
ρ
λ
∂
⎡
⎤
− +
= ∇ ∇ +
⎣
⎦
∂