36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
( )
( )
2
1
1
2
1
0
2
4
0
0
2
2
2
2
1
2
2
1
2
0
2
4
0
0
1 ( )
( );
1
( )
( )
( )
( ),
a
D D
D a
D a
a
a
a
D
D
D a
D a
a
a
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
=
+
+
=
+
(8)
или
2
2 2 2
2 2
1
2 1 1
1 2 1
2
1
0
2
2
4
0
0
0
2
2 2 2
2 2
2
2 2 1
2 1 2
2
1
0
2
2
4
0
0
0
1
( )(
)
( )
( )
( );
1
( )(
)
( )
( )
( ).
a a
D
D a
D a
D a
a
a
a
a a
D
D a
D a
D a
a
a
a
λ
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
− =
−
+
−
− =
−
+
(9)
Поскольку формула (7) для вычисления дисперсии нелинейных
функций приближенная, во вторых уравнениях систем (8) и (9) могут
быть неравенства. Следовательно, для устойчивости рассматривае-
мой системы корни характеристического уравнения должны иметь
неположительные вещественные части, т. е. если
1
λ
и
2
λ
—
действи-
тельные числа, то
1
1
2
2
( ) 0;
( ) 0,
t
t
β
β
λ
σ λ
λ
σ λ
+
≤
+
≤
где
σ
(
1,2
λ
)
=
( )
1,2
D
λ
—
среднее квадратическое отклонение значе-
ния
i
-
го корня;
t
β
—
квантиль, обеспечивающий заданную довери-
тельную вероятность
β
.
При этом для обеспечения надлежащего уровня значимости
α
(
доверительной вероятности
β
)
значение
t
β
нужно выбирать с уче-
том закона распределения значений
i
λ
.
В особых случаях можно
применять закон распределения Стьюдента [4]. В рассматриваемом
случае с вероятностью
β
система будет устойчивой, а с вероятностью
(1 –
β
) —
неустойчивой.
Возникает также проблема с корнями, имеющими нулевую веще-
ственную часть. Для непрерывных случайных величин вероятность
получить нулевое (конкретное) значение равна нулю. Учитывая дис-
персию этого значения при заданной доверительной вероятности
β
,
найдем интервальную оценку, в которую входят и отрицательные, и
положительные значения в окрестности нуля, но при положительных
значениях система неустойчива, а при отрицательных — устойчива.
Иногда систему считают неустойчивой, если значения корней харак-