ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
37
теристического уравнения близки к нулю. Предлагаемый ниже под-
ход позволяет решить эту проблему.
Условие устойчивости системы со случайными значениями па-
раметров в правой части уравнения следует формулировать так.
Утверждение 1
.
Для устойчивости дифференциального уравне-
ния
n
-
го порядка с постоянными случайными коэффициентами при
заданной доверительной вероятности
β
необходимо и достаточно,
чтобы интервальные оценки вещественных частей корней характери-
стического уравнения были не положительны.
Корни характеристического уравнения (точнее, их отношение)
позволяют судить о возможных отклонениях в решении [8]. Квад-
ратный корень отношения наибольшего собственного значения
симметричной матрицы
T
A A
к наименьшему показывает увеличе-
ние помех в направлении, соответствующем наименьшему соб-
ственному значению.
Для исследования устойчивости систем можно также пользовать-
ся полиномом Гурвица.
Характеристический полином
1
0
1
( )
...
n
n
n
P a a
a
λ
λ
λ
−
= +
+ +
(
1
n
≥
),
0
a
> 0,
называется полиномом Гурвица, если действительные части всех его
корней отрицательны.
Теорема 3.
Необходимым (но не достаточным) условием того,
что стандартный полином есть полином Гурвица, является положи-
тельность всех его коэффициентов.
С учетом того, что коэффициенты полинома есть случайные ве-
личины, теорему следует переформулировать.
Теорема 4.
Необходимым условием с доверительной вероятно-
стью
β
того, что стандартный полином есть полином Гурвица, явля-
ется положительность интервальных оценок всех его коэффициентов.
Рассмотрим матрицу Гурвица
1 0
3 2 1
0... 0
... 0
.... .... .... ....
0 0 0...
n
a a
a a a
M
a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
размером
n
×
n
,
где на главной диагонали находятся коэффициенты
1 2
, ,...,
n
a a a
,
справа от них по строкам — коэффициенты с убываю-
щими номерами, а слева — с возрастающими. При этом полагается
0
i
a
=
,
если
0
i
<
или
i n
>
.