ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
35
Теорема 2.
Для устойчивости линейной однородной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического
уравнения системы имели неположительные вещественные части,
причем элементарные делители, соответствующие корням характери-
стического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы по-
стоянными.
Рассмотрим характеристический многочлен (полином) данной
системы дифференциальных уравнений
0
1
( )
n
P a a
λ
λ
= +
1
...
n
n
a
λ
−
+ +
,
1
n
≥
,
и определим его корни
k
λ
при случайных значениях коэффициентов
,
k
a
k =
0, 1, …,
n
,
или интервальные оценки корней
k
λ
.
Неопре-
деленность значений
λ
вследствие неопределенности коэффи-
циентов ,
k
a
k =
0, 1, …,
n
,
может быть значительна. В простейшем
случае, когда характеристический многочлен
P
(
λ
)
представляет
собой произведение элементарных сомножителей, неопределенность
∆
k
λ
значений
k
λ
равна неопределенности
∆
k
a
соответствующего
значения
k
a
.
Во всех остальных случаях она будет больше.
Для каждого конкретного многочлена применим свой метод
нахождения корней. В простейшем случае при
n =
2
имеем
2
0
1
2
0,
a a a
λ
λ
+ + =
0
a
> 0.
По теореме Виета [7] получаем
1 2
1 0
1 2 2 0
/ ;
/ .
a a
a a
λ
λ
λ λ
+ = −
=
Если
[
]
T
1
2
( )
( ), ( ) ;
λ ω
λ ω λ ω
=
[
]
1
2
( ( ))
( )
( ) ;
ϕ λ ω
λ ω λ ω
=
×
[
]
1
2
cov ( ), ( ) 0,
λ ω λ ω
=
то, согласно методу статистической линеаризации,
[
]
[
]
{ }
[
]
[
] [
]
[
] [
]
T
( )
2
2
2
1
1
2
( ( ))
( )
cov ( ) ( ) |
( )
( )
( )
( ) .
X M
D
X
X
M D
M D
λ ω
ϕ λ ω
ϕ
λ ω ϕ
λ ω
λ ω
λ ω
λ ω
=
′
′
≈
=
=
+
Отсюда, согласно формуле (7), находим