34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
(
строго говоря, в случайные аргументы следует включить и
0
t
),
над
которой можно проводить операции интегрирования и дифференци-
рования по параметрам
10 20
0
,
,...,
, .
n
x x
x
θ
Теория вероятностей и математическая статистика предостав-
ляют нам две возможности для исследования поведения задачи Коши
как функции случайных аргументов: вычисление функции распреде-
ления как функции многих переменных и рассмотрение всех необхо-
димых для конкретного решения моментов и вычисление только ее
дисперсии [4, 5].
Часто процедура вычисления функции распределения функции
многих переменных и всех небходимых моментов достаточно гро-
моздка, и в практических приложениях ограничиваются вычислением
только дисперсии функции многих случайных переменных (метод
статистической линеаризации). Дисперсия функции
i
x
( )
( )
(
)
2
1
0
0 0
0
2 1
0
0 0
2
cov ,
n m
n m i
i
i
i
j
i
i
j
i
i
j
f
D x
D x
x x
x
x x
ϕ
ϕ
+
+ −
=
= =
⎛ ⎞
∂
∂ ∂
≅
+
⎜ ⎟
∂
∂ ∂
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
, (7)
где
0
0
, ...,
i
j
x
x
—
координаты вектора
θ
параметров;
0 0
cov( ,
)
i
j
x x
—
корреляционный момент случайных величин
0
i
x
и
0
j
x
[6].
При известном математическом ожидании
i
x
и дисперсии ( )
i
D x
определяют соответствующую заданной доверительной вероятности
β
интервальную оценку Δ
i
x
[5] ,
по которой судят о поведении полу-
ченного решения.
Для практики наибольший интерес представляют случаи, когда
суждение о поведении решения системы дифференциальных урав-
нений (или дифференциального уравнения
n
-
го порядка) может
быть вынесено без нахождения решения в явном виде. В случае ис-
следования устойчивости решения по Ляпунову для этого сформу-
лирован ряд условий и критериев [1—3]. Рассмотрим некоторые из
этих критериев и исследуем влияние на них погрешностей (неопре-
деленностей) в значениях параметров системы — прежде всего
устойчивость линейных однородных систем с постоянными коэф-
фициентами:
,
dx Ax
dt
=
где
А —
квадратная матрица
,
элементами которой являются постоян-
ные коэффициенты;
1
( ,..., )
n
x x x
=
—
вектор-столбец неизвестных
функций.