24
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
( )
( ) ( )
(
)
( )
[ ]
(
)
( )
2
1
1
0
;
|
,
|
0
0;
.
T
i
i
i
F l
s t q B t U dt y l
l
s q a
ρ
δ
σ
=
= − −
− −
+
∑
∫
(13)
Из определения индикаторной функции следует, что максимум
функции (13) будет достигаться на множестве
1.
l
≤
Аналитическое
определение значения
0
l
,
соответствующего максимуму, весьма за-
труднительно, поскольку все входящие в выражение (13) величины
зависят от параметров модели и для каждого конкретного случая по-
лучается своя функция. Численно же данную задачу решают извест-
ными оптимизационными методами — рассматривают варианты
численно найденных значений
0
l
при различных значениях парамет-
ров исходной системы управления (7), а также параметров
1
a
и
2
a
,
задающих неопределенность в начальном состоянии системы. В од-
них случаях функция
( )
F l
унимодальная, в других — ее поведение
является более сложным.
Для нахождения оптимального управления подставим получен-
ные значения параметра
0
l
в условие (10):
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
0
0
0
;
min ;
,
M U
s t q B t M t
s t q B t M t
∈
=
0
T 0
.
q R l
=
(14)
Поскольку мы рассматриваем случай ограничений на управление ви-
да
( )
( )
{
}
:
1
M t U M M t
∈ =
≤
,
компоненты
( )
0
M t
вычисляют так:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
1
3
4
0
0
0
0
1
3
4
1,
;
;
;
0;
1,
;
;
;
0;
x
X Y s t q Xs t q Ys t q
M
X Y s t q Xs t q Ys t q
⎧
− +
+
+
≥
⎪
=
⎨
+
+
+
<
⎪⎩
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
2
5
6
0
0
0
0
2
5
6
1,
;
;
;
0;
1,
;
;
;
0,
y
X Y s t q Xs t q Ys t q
M
X Y s t q Xs t q Ys t q
⎧
− +
+
+
≥
⎪
=
⎨
+
+
+
<
⎪⎩
где
i
s
определяют согласно (9).
Построение множеств достижимости.
При рассмотрении задач
оптимального управления помимо сведения к системе дифференци-
альных уравнений можно использовать соотношение (1) напрямую.
Это осуществляется, в частности, при построении множеств дости-
жимости и при применении описанного далее метода динамического
программирования Беллмана.
Множества достижимости фазовых состояний системы в различ-
ные моменты времени играют важную роль при решении задач
управления, наблюдения и прогнозирования [5]. Точное или прибли-
женное знание множеств достижимости позволяет делать выводы о