ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
25
предельных возможностях системы управления, оценивать разброс
траекторий параметров задачи или внешних возмущений в условиях
неопределенности.
Для анализа и нахождения множества достижимости системы (6)
нас будут интересовать только первые две компоненты Ω
x
и Ω
y
фазо-
вой переменной. Пусть на вектор управлений
(
)
T
( )
( ),
( )
x
y
M t
M t M t
=
=
(
)
T
1
2
( ),
( )
M t M t
=
наложено ограничение
( )
,
M t
U
⊂
(15)
где
U
—
заранее заданное двумерное множество в пространстве
управлений.
Пусть в начальный момент времени задано начальное состояние
системы
Z
0
:
( )
0
0
.
z t
Z
∈
(16)
Приведем определение множества достижимости [5].
Определение 1.
Множеством достижимости
(
)
0
0
, , ,
D t T Z U
си-
стемы (6) с начальными условиями (16) называется совокупность
концов
( )
z T
всех траекторий этой системы, начинающихся в момент
времени
0
t
в точках начального множества
0
.
Z
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления для
системы (6) с ограничением (15) и начальным условием (16):
( )
(
)
,
max
J c z T
=
→
G G
,
0
T t
>
,
1
c
=
G
,
(17)
где
c
G
—
заданный вектор;
T
—
фиксированный момент времени
окончания процесса.
Решая задачу (17) для любого вектора
c
G
,
для каждого
i
-
го его
значения получаем точку
( )
*
i
z T
G
на границе множества достижимости
и опорную гиперплоскость в этой точке. Определив эти точки и
опорные гиперплоскости, можно получить как внешнюю, так и внут-
реннюю аппроксимацию множества
(
)
0
0
, , ,
.
D t T Z U
Чем большее
число точек найдено, тем лучше внутренняя и внешняя аппроксима-
ции приближаются к множеству достижимости.
Рассмотрим решение задачи (17) применительно к системе (6)
при ограничениях на управление вида
( )
,
i
i
i
a M t b
≤
≤
1, 2,
i
=
(18)
где
i
a
,
i
b
—
заданные числа, и начальным условием
( )
0
0
z t
=
G
.