22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
матрица наблюдения
k n
×
(
если
k n
=
,
,
R E
=
т. е. единичная матри-
ца) с вектором
(
)
(
)
0
0
; ,
; ,
;
z t M x Rx t M x
=
( )
z
ϕ
—
выпуклая, всюду
конечная функция, заданная на
k
\
,
а
( )
( )
{
}
Φ max
|
,
Z
z z Z
ϕ
=
∈
где
( )
z
ϕ
—
функция расстояния вида
( )
;
z z y
ϕ
= −
y
—
терминальная
точка.
Приведем ансамбль траекторий как можно ближе к заданному
состоянию в момент времени
T
.
Задача формулируется следующим
образом: среди допустимых управлений
( )
( )
{
}
:
1
M t U M M t
∈ =
≤
найти оптимальное
( )
0
,
M t
удовлетворяющее условию минимума:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
{
}
0
0
Φ ;
min Φ ;
.
M t U
RX T M
RX T M
∈
=
(8)
Запишем сопряженную однородную к уравнению (7) задачу с не-
которым краевым условием
0
:
q
( )
( )
;
s t
s t A
= −
( )
0
.
s T q
=
(9)
В работе [4] сформулированы необходимые условия оптимально-
сти в условиях неопределенности начальных данных и коэффициен-
тов уравнения (7). Оптимальное управление
( )
0
M t
соотношения (8)
удовлетворяет условию минимума
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
0
0
0
;
min ;
M U
s t q B t M t
s t q B t M t
∈
=
(10)
на решении
(
)
0
;
,
s t q
где
0
0
,
T
q R l
=
сопряженной задачи (9), порож-
денном элементом
0
l
,
который максимизирует функцию
( )
:
F l
( )
( ) ( )
(
)
( )
**
0
;
|
.
T
F l
s t q B t U dt f l
ρ
= − −
−
∫
(11)
Пусть
( )
( )
( )
(
)
*
0
0;
|
.
f l
l
s q X
ϕ
ρ
= −
Сопряженная функция
( )
( )
{
}
*
sup ,
|
f y
x y f x x E
=
−
∈
,
а опорная функция к множеству
E
определяется как
(
)
{
}
|
sup , ,
.
x E
x y y E
ρ
=
∈