ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
21
где
( )
( )
( )
( )
Re
Im
;
Im Re
Y
Y
C
Y
Y
⎛
⎞
=
⎜
⎟
−
⎝
⎠
(
)
(
)
(
)
(
)
(2)
(2)
(2)
(2)
Re
Im
.
Im Re
p
p
D
p
p
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
−
⎝
⎠
Поскольку
Ω
x y
= +
,
где Ω — вектор-столбец
(
)
Ω ,Ω ,
x y
сложим
уравнения (4) и (5):
(
)
Ω
Ω
.
Ax BM Cy DM A y BM Cy DM
= + + + = − + + +
Соотношение (1) эквивалентно следующей линейной системе из
четырех уравнений:
Ω
Ω
.
0
A A C
B D
z
M
C y
D
y
− +
+
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
= =
+
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝ ⎠
G
(6)
Заметим, что в работах [1—3] представлено сведение к системам
дифференциальных уравнений более высоких порядков, когда при-
менение принципа максимума Понтрягина приводит к простым про-
цедурам.
Пример из теории управления в условиях неопределенности.
Сведение к системе линейных уравнений позволяет рассмотреть раз-
личные классы задач оптимального управления, для которых сфор-
мулированы необходимые условия по типу принципа максимума.
Одним из таких случаев являются постановки в условиях неопреде-
ленности, включающие развитый математический аппарат на основе
сопряженных переменных [4].
Пусть движение
n
-
мерной системы подчиняется линейному урав-
нению, аналогичному (6):
( )
( )
( )
,
x t
Ax t BM t
= +
(7)
а начальное состояние системы заранее неизвестно и подчиняется
условию
0
0
,
x X
∈
где
0
X
—
заданное выпуклое компактное множество в множестве
n
\
возможных начальных состояний системы.
Тогда в каждый момент времени известно множество
(
)
;
,
X t M
[ ]
0, ,
t
T
∈
объединяющее все траектории, полученные при одном и
том же управлении, при всевозможных векторах
0
x
.
Будем называть
его ансамблем траекторий. Выбирая всевозможные допустимые
( )
,
M t
можно управлять положением ансамбля. Пусть
R
—
известная