28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
ни). Тогда для функции (24) справедливо следующее рекуррентное
соотношение:
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
,
min
i
i
T
T
i
M t U
t
t
f x t
g x K M d
F M d
τ
τ
τ
γ
τ
τ
∈
⎡
⎤
⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
⎥
=
+
+
=
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
∫
∫
G
G
G
G
G
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
)
Δ
Δ
min
i
i
i
i
t
T
T
M t U
t
t
t
g x
K M d
K M d
F M d
τ
τ
τ
τ
τ
τ
γ
τ
τ
+
∈
+
⎡
⎤
⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
⎥
=
+
+
+
=
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
∫
∫
∫
G
G
G
G
G
( )
( ) ( )
( ) ( )
Δ
min
i
T
i
i
M t U
t
g x
K M d K t M t
τ
τ
τ
Δ
∈
+
⎡ ⎛
⎞
⎜
⎟
⎢
=
+
+
+
⎜
⎟
⎢ ⎝
⎠
⎣
∫
G
G
G
G
( )
(
)
( )
(
)
Δ
Δ
i
i
i
t
T
t
t
F M d
F M d
γ
τ
τ
γ
τ
τ
+
+
⎤
⎥
+
+
=
⎥⎦
∫
∫
G
G
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
min
Δ,
,
i
i
i
i
M t U
F M t
f x K t M t
t E
γ
∈
⎡
⎤
=
+ +
+
⎣
⎦
G
G
G
G
или
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
,
min
,
.
i
i
i
i
i
M t U
f x t
F M t
f x K t M t
t
γ
Δ
Δ
∈
⎡
⎤
=
+ +
+
⎣
⎦
G
G
G
G
G
(25)
Граничное условие для функции (25) при
i
t T
=
имеет вид
( )
( )
,
,
f x T g x T
=
G
G
.
(26)
Согласно определению (24), для решения задачи (22) требуется
отыскать значение функции Беллмана
( )
0, 0
f
в начальный момент
времени с начальным условием
( )
( )
0
0 0
x t
x
= =
.
(27)
Решим задачу (22) при ограничениях на управление вида
( )
2
l
M t
R
≤
,
,
l x y
=
.
Будем рассматривать дискретные значения ком-
понент управления с некоторым шагом разбиения Δ
M
на всей обла-
сти определения (около
2
2
Δ 1
M
M
N R
=
+
значений). Тогда получаем
2
M
N
всевозможных значений вектора управлений в каждой точке
i
t
сетки по времени
Δ,
i
t i
=
1
Δ
i
i
t
t i
+
= +
на отрезке
[ ]
0, .
T
Введем сетку в пространстве траекторий с шагом Δ .
x
Поскольку
никакие ограничения на фазовые переменные не накладываются,
можно построить множество достижимости
max
X
системы, описыва-