ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
27
существуют точки, которые принадлежат множеству достижимости
для вязкой жидкости, но не принадлежат множеству достижимости
для случая идеальной жидкости.
Использование рекуррентных соотношений Беллмана в зада-
че с ограничениями на управление.
Целый ряд интересных и важ-
ных формализаций физических процессов можно трактовать как
многошаговые процессы. Мы приходим к теории динамического
программирования, представляющего собой подход, основанный на
использовании рекуррентных функциональных уравнений и принци-
па оптимальности Беллмана [6]. Покажем, каким образом данный
подход можно применить для решения задач управления твердыми
телами с жидким наполнением [7].
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления:
( )
( )
(
)
( )
(
)
0
min,
T
J M g x T
F M t dt
γ
=
+
→
∫
G
G
(22)
с ограничениями вида
( )
.
M t U
∈
G
Поскольку нам известна зависимость (1) траекторий от управления,
выражение (22) можно переписать в виде
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
0
0
0
min
T
T
t
J M g x t
K M d
F M t dt
τ
τ
τ
γ
⎛
⎞
⎜
⎟
=
+
+
→
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
G
G
G
,
(23)
где
( )
K t
—
матрица из элементов
( )
,
,
i j
K t
,
1, 2
i j
=
(
см. формулы
(2)
и (3)). Кроме того,
( )
(
)
( )
2
;
m
E
F M t
M t
=
G
G
(
)
(
)
( )
20
;
n
E
g x T M x T y
= −
G G
G
G
и в рассмотренных ранее примерах функционалов
0
0
t
=
,
( )
0
0
x t
=
G
.
В
дальнейшем вид функций
F
и
g
для описания метода не имеет зна-
чения и может быть более общий.
Воспользуемся методом Беллмана для решения задачи (23). За-
пишем скалярную функцию Беллмана:
( )
(
)
1 2
,
, , , ,
n
f x t
f x x x t
=
=
G
…
( )
( ) ( )
( )
(
)
min
.
T
T
M t U
t
t
g x K M d
F M d
τ
τ
τ
γ
τ
τ
∈
⎡
⎤
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
∫
∫
G
G
G
G
(24)
Введем сетку по времени
Δ,
i
t i
=
1
Δ
i
i
t
t i
+
= +
на отрезке
[ ]
0,
T
(
набор индексов
i
определяется рассматриваемым отрезком време-