ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
29
емой соотношением (6), для каждого момента времени
i
t
,
используе-
мого в итерационном процессе, ограничив тем самым всевозможные
допустимые значения фазовых переменных. Из выражения (1) полу-
чаем аппроксимацию для элемента
max
:
X
( )
( )
( )
,
,
max
0
0
.
T
T
l
j
l j
l j
j
j
x
M t K t dt
K t dt x
=
≤
=
∫
∫
Σ
Σ
Таким образом, для
i
t T
=
находим
max
2
Δ 1
x
x
N x
=
+
всевозмож-
ных значений фазовой переменной.
В каждой точке сетки по фазовой переменной для каждого
i
t
рас-
считаем функцию Беллмана вида (25), начиная с граничного условия
(26) (
i
t T
=
,
Δ
i
t T
= −
,
2
Δ
i
t T
= −
, …,
0
i
t
=
).
Для оптимизации ите-
рационного процесса и исключения перебора всевозможных значе-
ний фазовой переменной рассмотрим только значения, удовлетворя-
ющие аппроксимациям множества достижимости системы. Помимо
значения функции Беллмана будем хранить еще и значения опти-
мального управления в каждой точке, удовлетворяющего соотноше-
нию (25). При расчете компонент оптимального управления для
i
-
го
шага осуществляем контроль принадлежности полученной точки
( ) ( )
Δ
i
i
x K t M t
+
G
G
для
1
i
+
-
го шага множеству достижимости, а ее
значение интерполируем ближайшим значением сетки.
В результате полного расчета (
0
i
t
=
)
получаем таблицы значений
оптимального управления для каждой точки фазового пространства и
значения функции Беллмана для каждого
i
t
.
Среди всех значений фа-
зовой переменной при
0
t
=
удовлетворительными будут только зна-
чения
( )
0 0
l
x
=
,
соответствующие начальному условию (27). Обрат-
ным пересчетом по таблицам восстановим оптимальную траекторию
в каждый момент времени, после чего получим оптимальное значе-
ние функционала исходной задачи. Отметим, что значение функции
Беллмана достаточно сохранять только для предыдущего шага по
времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Г у р ч е н к о в А.А., Е с е н к о в А.С., Ц у р к о в В.И. Управление движе-
нием ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. 1 // Изве-
стия РАН. Теория и системы управления. – 2006. – № 1. – С. 141–148.
2.
Г у р ч е н к о в А.А., Е с е н к о в А.С., Ц у р к о в В.И. Управление движе-
нием ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. 2 // Изве-
стия РАН. Теория и системы управления. – 2006. – № 3. – С. 82–89.