14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Φ
0
(
)
( ) (
)
t
N
E I
t
f N I N N dt
υ
∞
∈
=
>
= =
∑ ∫
Φ
0
( )
(
) (
) ,
t
N
f N E I
t I N N dt
υ
∞
∈
=
>
=
∑ ∫
(13)
где
I
(
A
)
—
индикатор события
A
.
Согласно определению момента остановки
υ
(
см. выражение
(3)),
при любом
0
t
≥
справедливо соотношение включения
{ }
{
}
.
t
t
N H
> ⊂ ∈
υ
Кроме того, если область
G
поглощающая, то для этих событий
справедливо и обратное соотношение
{
}
{ }
t
N H t
∈ ⊂ >
υ
при любом
0
t
≥
.
Тем самым, если область
G
поглощающая, то при
любом
0
t
≥
справедливо выражение
(
) (
).
t
I
t
I N H
> = ∈
υ
(14)
Тогда из выражений (13) и (14) следует
Φ
0
0
Φ
Φ
0
0
( )
( )
(
) (
)
( )
(
)
( ) ( ) ,
t
t
t
N
t
t
N
N
E f N dt
f N E I N H I N N dt
f N E I N N dt
f N P N dt
υ
∞
∈
∞
∞
∈
∈
=
∈
= =
=
= =
∑
∫
∫
∑
∑
∫
∫
т. е. равенство (11) доказано. Заметим, что в частном случае (при
( ) 1
f N
≡
)
равенство (11) с учетом (14) имеет вид
{
}
{ }
0
0
0
( )
,
t
t
t
t
N H
E
P N dt
P N H dt
P t dt
∞
∞
∞
∈
=
=
∈ = >
∑ ∫
∫
∫
υ
υ
который совпадает с известным выражением для математического
ожидания момента
υ
первого достижения поглощающего множества
состояний
Φ \ .
G H
=
Для доказательства равенства (12) рассмотрим разбиение вре-
менной оси
0
t
≥
дискретными моментами
j
t
j h
=
,
0, 1, 2, ...,
j
=
где
h —
шаг разбиения. Поскольку область
G
поглощающая, то в соот-
ветствии с (13) при любом
0
j
t
≥
справедливо следующее равенство
между событиями:
{ } {
}
( )
.
j
j
t
N t
H
> =
∈
υ
(15)