ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
13
сом
t
N
области «остановки»
G.
Далее задача сводится к вычислению
по формулам (5) и (7) указанных выше основных показателей каче-
ства работы системы в зависимости от той или иной выбранной обла-
сти «остановки» (начала восстановления)
G
в фазовом пространстве
состояний системы
Φ.
Зависимость этих показателей от выбора об-
ластей
G
и
Φ \
H G
=
обозначим как
,
H
V V
=
.
H
g g
=
Определение
оптимального правила начала восстановления далее заключается в
максимизации показателя эффективности
max ,
H
V
Φ,
H
⊂
(8)
при ограничении на связанные с восстановлением средние затраты
*
,
H
g g
≤
Φ,
H
⊂
(9)
где
*
g
—
заданный критический уровень допустимых затрат.
Вычисление основных показателей.
Приведенная ниже теорема
позволяет достаточно просто вычислять указанные выше основные
показатели
,
, ( )
E ES Eg N
υ
υ
υ
в выражениях (5) и (7), по крайней мере
для случая, когда область «остановки»
G
является поглощающей.
Пусть ( ) 0
f N
≥
—
некоторая функция состояния
Φ.
N
∈
Выражение
0
( )
t
E f N dt
∫
υ
(10)
назовем обобщенной средней суммарной наработкой всех элементов
системы к моменту начала восстановления
υ
.
Нетрудно увидеть, что
характеристики
E
υ
и
ES
υ
являются частными случаями выражения
(10)
соответственно при
( ) 1
f N
≡
и
( )
( )
f N M N
=
.
Теорема.
Если область «остановки»
G
в выражении (5) является
поглощающей, то
0
0
( )
( ) ( ) ;
t
t
N H
E f N dt
f N P N dt
∞
∈
=
∑
∫
∫
υ
(11)
0
( )
( )
( , ) ( ) ,
t
K G N H
g N
g K N K P N dt
∞
∈
∈
=
∑ ∑ ∫
υ
Ε
λ
(12)
где
Φ \
H G G
= =
—
область «продолжения работы» системы.
Доказательство
.
С учетом конечности множества Φ имеем
0
0
( )
(
) ( )
t
t
E f N dt E I
t f N dt
∞
=
>
=
∫
∫
υ
υ