Стр. 2 - А.А. Панкратов - Периодические и условно-периодические движения спутника-гиростата под действием гравитационного момента на круговой орбите

140 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
В настоящей работе проведено исследование различных семейств
периодических решений в задаче о вращательном движении спутни-
ка-гиростата, центр масс которого движется по круговой орбите, соб-
ственный кинетический момент роторов мал, а эллипсоид инерции
спутника-гиростата близок к сфере. Для нахождения периодических
решений были использованы достаточные условия Пуанкаре [2, 3] и
условия, полученные в работах [4, 5]. Для этого уравнения движения
приведены к форме, необходимой для применения метода малого па-
раметра Пуанкаре. Для получения требуемых уравнений сначала
необходимо вывести дифференциальные уравнения вращательного
движения спутника-гиростата в углах Эйлера и сопряженных кано-
нических переменных, а затем с помощью канонических преобразо-
ваний перейти к безразмерным переменным, типа переменных Анду-
айе. Анализ найденных периодических решений ограничен порож-
дающими решениями.
Уравнения движения. Рассмотрим движение динамически сим-
метричного спутника-гиростата вокруг центра масс S под действием
гравитационной силы тяготения центрального тела O (однородного
шара), относительно которого центр масс спутника описывает кепле-
ровскую орбиту радиусом R . Для определения движения спутника-
гиростата введем следующие системы координат:
инерциальную Oxyz с началом координат в точке O и осями
, , Ox Oy расположенными в плоскости орбиты;
декартову Sxyz с началом координат в точке S — центре масс
спутника-гиростата и осями , , , Sx Sy Sz параллельными осям
, , Ox Oy Oz соответственно;
подвижную , S ξηζ оси которой направлены по главным цен-
тральным осям инерции спутника-гиростата.
Пусть , , A B C — моменты инерции спутника-гиростата (вместе с
роторами) относительно осей , , S S Sξ η ζ соответственно. Обозначим
, , K K Kξ η ζ проекции собственного кинетического момента роторов
на оси , , . S S Sξ η ζ Тогда ( , , ) K K Kξ η ζ = K — кинетический момент
роторов относительно системы координат . S ξηζ Отметим, что в рас-
сматриваемой задаче , , K K Kξ η ζ — постоянные величины.
Ориентацию системы координат S ξηζ относительно системы
Sxyz зададим углами Эйлера , , .ϕ ψ θ Кинетическая энергия враща-
тельного движения спутника-гиростата с точностью до аддитивной
постоянной имеет вид
( )
2 2 2 1 ,
2 T A B C K K K= + + + + +η ξ ξ η η ζ ζ ξ ζ ω ω ω ω ω (1)
где , ,
ξ η ζ ω ω ω — проекции угловой скорости спутника на оси
, , . S S Sξ η ζ Зависимости проекций , ,
ξ η ζ ω ω ω от углов , ,ϕ ψ θ и их
производных заданы кинематическими уравнениями Эйлера. Углы Эй-