150
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Для исследования периодических решений, соответствующих
другим резонансам (см. формулу (32)) воспользуемся одним из до-
статочных условий существования, полученных в работах [4, 5], ко-
торое сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 2.
Система (21)—(23) в особом случае (32) допускает
при малых значениях
0
μ
≠
голоморфные по параметру
μ
T
0
-
перио-
дические решения, близкие к порождающему решению (25), если
параметры этого решения удовлетворяют условиям
0
2
0
H 0;
G
∂
≠
∂
(33)
1
1
0
0
H H 0;
l
L
∂ ∂
= =
∂ ∂
(34)
( )
0 0
1 ,
Hes H
0;
l L
Δ ≡
≠
(35)
( )
1
0
H 0;
i
i
G
g
−
∂
Φ + =
∂
(36)
( )
1
2
2
0
0
H 0.
i
i
G
g
g
−
∂Φ ∂
+
≠
∂
∂
(37)
Алгоритм построения функций
( )
1
i
G
−
Φ
приведен в работе [5], индекс
(
)
i i N
∈
—
порядковый номер приближения, в котором появляются
«
критические» для исследуемого резонанса члены. Учитывая струк-
туру функций
H
i
и рекуррентную формулу для вычисления функций
( )
1
,
i
G
−
Φ
можно доказать, что достаточные условия существования
периодических решений (36), (37) для резонансов
(0)
:
:
n
r p
ω
=
(
)
Z,
,
0
r
p N rp
∈ ∈ ≠
принимают вид
(
)
( , )
0 0
0
,
sin
0;
p r
F
kpg
=
ρ θ
(38)
(
)
( , )
0 0
0
,
cos
0,
p r
kpF
kpg
ρ θ
≠
(39)
где при четном
rk
—
некоторое натуральное число, при нечетном
rk
—
четное.
Условие (33) выполняется тождественно. Подставим выражение
(32)
в уравнения (34) и решим их вместе с уравнением (38) с учетом
неравенств (35) и (39). Получим следующее решение:
(
)
0
0
0, ;
0, , 2 1 ;
s
l
g
s
kp
kp
π
π
=
=
=
−
…
0 0
,
,
ρ θ
и
β
—
произвольные величины;