148
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
( )
0 0 0
1
,
,
Hes H
0,
l g L
≠
(28)
где
0
1
1
1 0 0
0 0
0
2
0
1
H
,
,
, ,
;
T
T
k
H L G h g l h dh
k
⎛
⎞
=
− +
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
(29)
,
Hes ( )
x y
F
—
определитель Гессе, вычисленный от функции
F
по
величинам, стоящим справа от вертикальной черты.
Вычислив интеграл (29), получим:
а) при
0
1
G
= ±
(
)
(0)
:
1: 1
n
ω
= ±
{
}
2
0
2 2
1
0
0 0
0.0 2. 2
0
0 0
H æ
sin cos
cos
cos 2 ;
2
L
G L
l L
u u
g
β
β
±
= −
−
+
− −
(30)
б) при
0
2
G
= ±
(
)
(0)
:
2 : 1
n
ω
= ±
{
}
2
0
2 2
1
0
0 0
0.0 1. 2
0
0 0
H æ
sin cos
cos
cos ;
2
L
G L
l L
u u
g
β
β
±
= −
−
+
− −
(31)
в) при
0 1 2
,
G k k
=
исключая пп. а), б) и
(
)
(0)
1
0
0
k
n
=
=
{
}
2
0
2 2
1
0
0 0
0.0
0 0
H æ
sin cos
cos
.
2
L
G L
l L
u
β
β
= −
−
+
−
(32)
Условие (26) выполняется при любом значении
0
.
G
Для случая в)
условие (28) заведомо нарушается. Следовательно, с помощью тео-
ремы 1 можно исследовать периодические решения системы (23)
только для резонансов
1 2
:
1: 1
k k
= ±
и
2 : 1.
±
Подставим выражения (30) и (31) в уравнения (27) и с учетом не-
равенства (28) получим следующие решения:
А. При
0
1
G
= ±
(
)
(0)
:
1: 1
n
ω
= ±
1)
0 0
,
ρ θ
и
β
произвольны;
0
0
3
0, ;
0,
, ,
;
2 2
l
g
π
π
π
π
=
=
(
)
(
)
0
0
0
0
0 1
2
sin 2 3 6 cos
6
cos
2 3
æ
;
16
sin
ε
θ
σ
ρ
εσ
θ
σ
θ
σ β
⎡
⎤
−
−
+ −
⎣
⎦
=
−
2)
0
ρ
и
0
æ
произвольны;
0
0
0
3
0, ;
0,
, ,
;
;
2
2
2
l
g
π
π
π
π
π
β θ
=
=
= =