124
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (см. (6))
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
0
( )
1
4
4
.
(2 1)
( )
(2 1)
4
i
i
j
A
F X x
Pf
p
m l
l i
p m l
i
EF p
l
m
π
π
=
⎛
⎞ ⎛
⎞
= ±
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠
−
⎝
⎠
⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
Пример 2.
Рассмотрим вынужденные крутильные колебания од-
нородной консоли (вала) с левым защемленным торцем, расположен-
ной на шероховатой плоскости (рис. 5). В этом случае прослежива-
ется аналогия с продольными колебаниями (см. пример 1). Заменим
погонную жесткость
0
EF
погонной жесткостью консоли на кручение
0
p
GI
(
I
p
—
полярный момент инерции), погонную массу
0
m
—
по-
гонным моментом инерции
0
,
I
а перемещение в продольном направ-
лении материального сечения стержня ( , )
u x t
—
углом кручения
( , ).
x t
ϕ
Тогда
0
2
2
0
,
i
i
p
I
GI
λ
ω
=
2 1 ,
1, 2, 3, ...
2
i
i
i
l
π
λ
−
=
=
Рис. 5. Схема крутильных колебаний
Форма собственных колебаний описывается уравнением
( )
sin (2 1),
1, 2, ...
2
i
x
X x
i
i
l
π
=
− =
Коэффициенты разложения
4
(2 1)
i
Pf
a
i
l
π
=
−
.
Здесь
P
—
сила тяжести консоли;
f
—
коэффициент сухого трения
первого рода.
Приведенный коэффициент демпфирования
3
2
64
(2 1)
i
i
Pf
A l i
p
μ
π
=
−
,
где
i
А
—
i
-
я амплитуда вынужденных крутильных колебаний.