122
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Рис. 3. Схема для определения продольных колебаний
Рис. 4. Механический анализ колебательной системы
Дифференциальное уравнение продольных колебаний однород-
ной консоли [1] имеет вид
2
2
0
0
2
2
0.
u
u
EF m
x
t
∂
∂
−
=
∂
∂
(7)
Здесь ( , )
u x t
—
перемещение в продольном направлении материаль-
ного сечения стержня.
Зададим граничные условия. Так как левый торец защемлен,
(0, ) 0,
u t
=
а правый торец свободен, то
0
( , )
( , ) 0.
u
N l t
EF l t
x
∂
=
=
∂
Согласно методу Фурье, решение уравнения (7) имеет вид
( , )
( ) ( ).
u x t
X x s t
=
Тогда его можно преобразовать в дифференциальное уравнение
2
2
0
2
2
2
0
0,
.
X
m
X
x
EF
ω
λ
λ
∂
+ =
=
∂
(8)
Решение дифференциального уравнения (8) для
( ),
X x
удовле-
творяющее граничным условиям, имеет вид
( )
sin (2 1),
1, 2, ...
2
i
x
X x
i
i
l
π
=
− =