ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
121
0
2
0
( )
.
2
l
i i
i
i
l
i
a X x dx X
b
p X dx
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
=
∫
∫
Поскольку
cos(
)
i
i
i
i
q A pt
α
ε
=
+ −
,
получим
2 2
2 2 2
0 2
(
)
( )
i
i
i
i
i
i
h
A
b p
p
A m
ω
=
⎛ ⎞
− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
,
2 2
2
tg
.
i
i
i
n p
p
ε
ω
=
−
Отсюда
2
2
2 2 2 2
2
0
(
)
,
i
i
i
i
i
i
b p
A
p
h
A m
ω
⎡
⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− +
=
⎢
⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
т. е.
2
2 2 2 2 2
2
0
(
)
.
i
i
i
i
i
p
A p b
h
m
⎛ ⎞
− +
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ω
Окончательно имеем
2
2 2
2 2 2
0
1
(
)
i
i
i
i
i
p
A
h b
p
m
ω
⎛ ⎞
= ±
− ⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
.
(6)
Решение уравнения (6) справедливо при
0
,
i
i
i
b p h
m
≥
небольшом
трении и непрерывном движении системы. Более подробно это ре-
шение описано в работе [1].
Теперь рассмотрим применение этого подхода на некоторых
примерах:
1)
продольные колебания однородной консоли;
2)
крутильные колебания однородной консоли (вала);
3)
поперечные колебания шарнирно-опертой однородной балки.
Пример 1.
Рассмотрим вынужденные продольные колебания од-
нородной консоли с левым защемленным торцем, расположенной на
шероховатой плоскости (рис. 3). Пусть погонная масса консоли равна
0
,
m
длина — ,
l
погонная жесткость —
0
.
EF
На рис. 4 изображена
механическая колебательная система, эквивалентная исходной си-
стеме.