118
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
где
( )
L q
—
оператор продольных, крутильных или поперечных ко-
лебаний;
λ
—
собственное значение краевой задачи;
q
—
прогиб
(
или угол кручения) стержня;
x
—
координата вдоль стержня.
Решение уравнения (1) имеет вид [1]
1
( )
cos (
).
i
i
i
i
i
q X x B t
∞
=
=
+
∑
ω
α
(2)
Здесь
( )
i
X x
—
собственные формы;
i
ω
—
частота
i
-
го тона соб-
ственных колебаний;
,
i
i
B
α
—
произвольные постоянные;
t
—
время.
Пусть вынуждающее воздействие
0
cos ,
F F pt
=
где
0
,
F p
—
ам-
плитуда и частота вынуждающего воздействия.
Собственные функции
{ }
i
X
краевой задачи (1) удовлетворяют
условиям полноты и ортогональности. Представим интенсивность
силы трения в виде ряда по функциям
( ) :
i
X x
тр
1
( ),
i i
i
q
a X x
∞
=
=
∑
где
а
i
—
коэффициент разложения сил трения в ряд по собственным
функциям.
Эквивалентные системы (механические аналоги) [2, 3] вынужден-
ных колебаний показаны на рис. 1, 2, где введены следующие обозначе-
ния:
0
i
m
—
приведенная масса механического аналога,
0
i
m
=
2
0
0
1
2
l
i
m X dx
=
∫
(
0
m
—
погонная масса или погонный момент инерции);
0
i
c
—
приведенная жесткость системы,
0
2
0
0
1 ( )
2
l
i
i
c
G X dx
=
′
∫
0
(
G
—
по-
гонная жесткость на растяжение, кручение или изгиб);
Q
i
(
t
) —
обоб-
щенная сила;
q
i
—
обобщенная координата.
Рис. 1. Механический аналог
продольных и поперечных ко-
лебаний
Рис. 2. Механический аналог
крутильных колебаний