108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
С помощью выражения (10) можно рассчитать прогиб в любой
точке цилиндрической оболочки, если известен закон
( )
P t
.
В частно-
сти, при ударе в точке контакта
(
)
1 1
,
ξ ϕ
функция
w
имеет вид
(
)
(
)
2
2
1
1
1 1
2
,
,
,
0
2
sin
cos
, ,
( )
sin
.
m
n m
n m
t
n m
n
w t
hl
P
t
d
λ ξ
ϕ
ξ ϕ
πρ
ω
τ
ω
τ
τ
∞
⋅
=
×
×
−
∑
∫
Расчет силы удара осуществим по шагам. На первом шаге расчета
перемещение оболочки в месте удара положим равным нулю, а мест-
ную деформацию определим по скорости движения материальной
точки (рассматривается нормальный удар). Тогда
1 0
,
V t
α
= Δ
3/2
1
1
,
P K
=
α
1
1
,
P a
M
= −
где
t
Δ
—
временнóй интервал первого шага расчета;
1
a
—
ускорение
материальной точки;
М
—
масса материальной точки.
На всех последующих шагах расчета перемещения материальной
точки и оболочки определяются следующими формулами:
,
i
t i t
= Δ
2
1
1
1
2
i
i
i
i
a t
s s V t
−
−
−
Δ
= + Δ +
,
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
,
2
,
,
0
sin
cos
2
( )
sin
,
i
t
m
i
n m i
n m
n m
n
w
P
t
d
hl
λ ξ
ϕ
τ
ω
τ
τ
πρ
ω
∞
=
−
∑
∫
(
)
3/2
,
i
i
i
P K s w
= −
.
i
i
P a
M
= −
По результатам первого этапа расчета находим зависимости
( ), ( ), ( ).
s t w t P t
Кроме того, определяем длительность ударного процес-
са
1
τ
и максимальное значение нормальной контактной силы
max
.
P
Этими данными воспользуемся на втором этапе расчета, который
связан с определением перемещений, скоростей и ускорений задан-
ных точек цилиндрической оболочки. Радиальные перемещение точ-
ки цилиндрической оболочки с координатами
( , )
ξ ϕ
при граничных
условиях Навье найдем с использованием формулы (9). Для упроще-
ния расчета в случае упругого удара зависимость ( )
P t
аппроксими-
руем синусоидой: