ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
107
получаем
,
,
2
2
,
( )
( )
.
(
)
n m
n m
n m
q p
C p
h
p
=
+
ρ ω
Выполняя обратное преобразование Лапласа, имеем
(
)
2 /
,
,
,
,
0 0
( , )
1
, ,
( , )
l R
n m
n m
n m
n m
W
w t
w
h
D
π
η ζ
ξ ϕ
ξ ϕ
ρ
∞
=
×
∑ ∫ ∫
(
)
,
,
0
sin (
)
, ,
.
t
n m
n m
t
q
d d d
−
×
∫
ω
τ
η ζ τ
η ζ τ
ω
Допуская, что сила давления при ударе сосредоточена в точке с
координатами
(
)
1 1
,
ξ ϕ
и зависит от времени, получаем
(
)
(
) (
)
1
1
( )
, ,
.
P t
q
t
Rl
=
−
−
ξ ϕ
δ ξ ξ δ ϕ ϕ
(7)
Подставляя выражение (7) в функцию
(
)
, , ,
w t
ξ ϕ
находим
(
)
(
)
(
)
,
,
1 1
,
,
,
,
0
( , )
,
1
, ,
( )
sin
.
n m
n m
n m n m
n m
t
n m
W W
w t
hRl
D
P
t
d
∞
=
×
×
−
∑
∫
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
ρ
ω
τ
ω
τ
τ
(8)
Решение для уравнения (3) получено при условиях Навье, т. е.
(
)
,
,
,
, ,
( )
sin cos ,
sin cos .
n m
m
n m
n m
m
w t
C t
n
W
n
ξ ϕ
λ ξ
ϕ
λ ξ
ϕ
∞
=
⋅
=
⋅
∑
(9)
Учитывая соотношения (9), получаем выражение
,
.
2
n m
l
D
R
π
=
Окончательно выражение (8) принимает вид
(
)
1
1
2
,
,
,
0
2
sin cos sin
cos
, ,
( )
sin (
) .
m
m
n m
n m
t
n m
n
n
w t
hl
P
t
d
λ ξ
ϕ
λ ξ
ϕ
ξ ϕ
πρ
ω
τ
ω
τ
τ
∞
⋅
⋅
⋅
=
×
×
−
∑
∫
(10)