104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
где
K
—
коэффициент, зависящий от параметров соударяющихся
тел,
(
)
1 2
4
.
3
k
q
K
A B
δ
δ
=
+
+
Здесь
k
q
—
функция отношения
/ ,
A B
( / ).
k
k
q q A B
=
Для случая
внешнего контакта цилиндрической оболочки радиусом
R
со сферой
(
материальной точкой) радиусом
1
R
коэффициенты
A
и
B
принимают
вид
1
1
2
A
R
=
,
1
1 1 1 .
2
B
R R
⎛
⎞
= + ⎜
⎟
⎝
⎠
Величины
1
δ
и
2
δ
характеризуют упругие свойства материалов со-
ударяющихся тел (материальной точки и оболочки соответственно):
2
1 ,
i
i
i
E
μ
δ
π
−
=
(1)
где
i
μ
—
коэффициент Пуассона;
i
E
—
модуль упругости материала
(
для материальной точки
1
i
=
,
для оболочки
2
i
=
) [1].
Радиальное перемещение
w
определяется из решения задачи о
колебаниях цилиндрической оболочки под действием неизвестной
контактной силы
( )
P t
.
Решение будем искать в виде рядов по соб-
ственным функциям, для чего сначала определим собственные часто-
ты оболочки. Не учитывая волновой характер распространения де-
формаций, а также пренебрегая инерционными силами в направлени-
ях составляющих перемещения
u
и
v
(
по оси
x
и по касательной к
оболочке )
ϕ
и нелинейными членами, получаем дифференциальные
уравнения движения цилиндрической оболочки в виде
2
2
2
2
2
1
1
0,
2
2
u
u
v
w
∂
− ∂
+ ∂
∂
+
+
− =
∂
∂
∂ ∂
∂
μ
μ
μ
ξ
ϕ
ξ ϕ
ξ
2
2
2
2
2
1
1
0,
2
2
u
v
v w
+ ∂
− ∂ ∂ ∂
+
+ − =
∂ ∂
∂ ∂ ∂
μ
μ
ξ ϕ
ξ
ϕ
ϕ
(2)
2
4
2
.
u v
w
w w L
t
∂ ∂
∂
+ − − ∇ =
∂ ∂
∂
μ
β
ξ
ϕ
Здесь
;
x
R
=
ξ
2
2
;
12
h
R
=
β
;
y
R
=
ϕ
2
2
2
4
2
2
,
ξ
ϕ
⎛
⎞
∂ ∂
∇ = + ⎜
⎟
∂ ∂
⎝
⎠
2
2
1
,
L
R
E
μ ρ
−
=
где
h
− толщина оболочки; , ,
E
μ ρ
—
коэффициент Пуассона, мо-
дуль упругости, плотность материала оболочки соответственно.