ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
105
Из системы уравнений (2) можно получить
(
)
4
2
8
4
2
4
2 2
0,
1
1
w L
w
w
t
β
μ
ξ
μ
∂
∂
∇ + +
∇ =
−
∂
− ∂
2
2
4
2
2
,
w w
u
μ
ξ
ξ
ϕ
⎛
⎞
∂ ∂ ∂
∇ =
−
⎜
⎟
∂ ∂ ∂
⎝
⎠
(3)
(
)
2
2
4
2
2
2
,
w
w
v
μ
ξ
ϕ
ξ
⎡
⎤
∂ ∂
∂
∇ =
+ +
⎢
⎥
∂ ∂
∂
⎣
⎦
где
4
2
2
8
2
2
.
ξ
ϕ
⎛
⎞
∂ ∂
∇ = + ⎜
⎟
∂ ∂
⎝
⎠
Решим первое уравнение для радиального перемещения ,
w
затем из
второго и третьего уравнений найдем составляющие перемещения
u
и
.
v
Рассмотрим цилиндрическую оболочку с граничными условиями
Навье:
0,
v w
= =
2
2
0
u w
ξ
ξ
∂ ∂
= =
∂ ∂
при
0,
ξ
=
l
R
ξ
=
(
l
—
длина цилин-
дрической оболочки). Решение получим в виде рядов, члены которых
имеют вид
,
,
,
,
,
,
cos
cos cos ,
sin sin cos ,
sin cos cos ,
,
1, 2, 3, ...,
0, 1, 2, ...
n m n m m
n m n m m
n m n m m
m
u A
n
t
v
B
n
t
w C
n
t
m R m
n
l
λ ξ
ϕ
ω
λ ξ
ϕ
ω
λ ξ
ϕ
ω
π
λ
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
(4)
Определим собственные частоты колебаний оболочки при заданных
граничных условиях, поскольку далее будем использовать их для вы-
числения радиальных перемещений
w
под действием силы
( ).
P t
Подставив третье выражение (4) в первое уравнение (3), получим
решение для собственных частот оболочки
(
)
(
)
4
2
2 2
4
2
2 2
,
2
2
,
1
1
m
m
n m m
L
n
n
+ + =
+
−
−
β
λ
λ
ω
λ
μ
μ
откуда
(
)
(
)
(
)
4
2 2
4
2
,
2
2 2
1
.
m
m
n m
m
n
n L
β λ
λ
μ
ω
λ
+ + −
=
+
Собственная частота минимальна при
1
m
=
и
6
n
=
.