ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
89
Отметим, что для слабонеоднородной жидкости
2
(
1)
N
вместо
выражений (5) можно воспользоваться приближенными соотношени-
ями
0 0
2
2
0 0
*
*
0
0
1
1
П ,
,
ij
i
j
N
N
x x
∂Π ∂
= ∇ ∇ =
∂ ∂
ρ
ρ
ρ
ρ
где
*
0
ρ
—
некоторое усредненное значение плотности. Тензор плаву-
чести обобщает понятия вектора плавучести
2
3
N
[5]
и частоты плаву-
чести (частоты Вяйсяля)
2
3 3
( )
x
N
[13].
Представим однородное уравнение (4) в виде
(
)
2
2
0.
I
K N
λ
λ
+ +
=
V
Значения
λ
,
при которых
det A( ) 0
λ
=
и существуют векторы
det ( ),
A
λ
∈
V
определяют диапазон частот колебаний идеальной не-
однородной вращающейся жидкости в неподвижной полностью за-
полненной полости. Уравнение
det ( ) 0
A
λ
=
или
2 4 2 2
2
2 2
0
33 0
(
4 )
4
0
N
N
λ λ
λ
ω
ω
⎡
⎤
+
+ +
=
⎣
⎦
(6)
имеет следующие корни:
(
)
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2 2
1
2,3
33 0
4
4
0,
4 ,
2
4
N
N
N
ω
ω
λ
λ
ω
+
+
=
= −
±
−
(7)
где
(
)
2
2
2
2
2
2
Г
Г 33
11
22
.
N N N N N N
= +
= +
При
2
0
N
=
(
однородная вращающаяся жидкость) получаем [5,
10, 11]:
[
]
0
Re
0,
0; 2 ,
λ
λ
ω
= ⊂
т. е. все частоты колебаний лежат на отрезке мнимой оси.
Для невращающейся стратифицированной вдоль оси
3
Ox
жидко-
сти получаем [13]
( )
0
0
0
2
33 3
33
33
33
0 3
1
Re
0,
0;
,
max
,
.
d
N N
N x N g
dx
ρ
λ
λ
ρ
⎡
⎤
= ⊂
=
= −
⎣
⎦
(8)
Согласно соотношениям (7), для невращающейся идеальной неодно-
родной жидкости (см. (8)) все частоты колебаний образуют множество
0 0
0
0
0
2
0
( )
1
Re
0,
0;
,
max
,
,
ij
i
j
d U
N N
N N
dx x
ρ
λ
λ
ρ
∂
⎡
⎤
= ⊂
=
= +
⎣
⎦
∂
r