90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
а для вращающейся стратифицированной в плоскости
1 2
Ox x
жид-
кости
( )
(
)
20
2
0
1 2
0
Re
0,
0;
4 ,
max
,
.
Г
Г
Г
N
N
N x x
λ
λ
ω
⎡
⎤
= ∈
+
=
⎢
⎥
⎣
⎦
Предположим, что
λ
не является корнем уравнения (6) и не сов-
падает ни с одной из собственных частот колебаний жидкости. Ис-
пользуя свойства тензора
2
,
N
выразим из уравнения (4) вектор
:
V
,
det ( )
L g
A
= −
⋅
λ
λ
V
(9)
где тензор
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
22
33
12
33
23
13
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
12
33
11 33
13
23
2
2
2
2
2
2
2
0
0
13
33
23
13
0
2
(2
)
2
2
2
(
2
)
4
Г
L
N N
N
N
N N
N
N
N N
N N
N N
N N
N
=
⎛
⎞
+ +
− +
+
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎡
⎤
= −
+
+
+ +
−
⎣
⎦
⎜
⎟
⎜
⎟
− +
− +
+ +
⎝
⎠
λ λ
λ
ω λ
ω
λ
λ
ω λ
λ λ
ω
λ
λ
ω
λ
ω
λ λ
ω
осуществляет линейное преобразование и обладает очевидными
свойствами:
т
т
( )
( ),
(
) (
) ,
L
L
L
L
λ
λ
= − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
a b
a b
т
L
—
тензор, сопряженный с тензором
L
;
,
a b
—
произвольные век-
торы.
С помощью преобразования (9), уравнение неразрывности и гра-
ничные условия (3) запишем в виде краевой задачи:
( )
(
)
div
0
в области ,
det
0
на границе ,
.
L
A
L
S g
p
⎧
⎫
⎪
⎪ ⋅
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
⋅ ⋅
=
= × +∇
λ
τ
λ
λ
g
n g
r
Ω
(10)
Таким образом, в рассматриваемом общем случае удается свести
гидродинамическую задачу (3) к краевой задаче математической фи-
зики для функции
р
.
Используя решение задачи (10), поле скоростей
неоднородной жидкости можно найти по формуле (9). Следуя работе
[5],
решение задачи (10) представим в виде
( )
(
)
3
3
2
1
1
,
.
det
j j
j
j
j
j
j
p
L
A
=
=
= −
=
∇
Ω
×
Ω −
∑
∑
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
V
l r
Тогда краевая задача (10) принимает вид
( )
(
)
div
0
в области ,
1, 2, 3,
,
det
j
j
L
j
A
⎧
⎫
⎪
⎪
⎡
⎤
∇ − × =
=
…
⎨
⎬
⎣
⎦
⎪
⎪
⎩
⎭
λ
ϕ
τ
λ
l r
(11)