88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Формулировка краевой задачи
.
Для описания вихревого дви-
жения вращающейся однородной жидкости обычно используют ме-
тод функций состояния, разработанный С.Л. Соболевым [10, 11] либо
метод обобщенных потенциалов, предложенный Ф.Л. Черноусько [5].
Однако развитие метода функций состояния на случай неоднородной
жидкости с произвольным изменением плотности связано со значи-
тельными трудностями. Метод обобщенных потенциалов, основан-
ный на некотором ограничении на изменения переменных от време-
ни, в этом смысле является более приемлемым. Этот метод позволяет
наиболее полным образом выделить гидродинамическую задачу из
общей задачи механики системы тело—жидкость. Рассмотрим рас-
пространение этого метода на случай неоднородной жидкости.
Пусть все переменные по времени изменяются пропорционально
,
t
e
λ
где
λ
—
комплексное число. Тогда уравнения (2) принимают
вид
0
0
0
0
1
2
,
,
0
в области ,
0
на границе .
p
+ × + ∇ − ∇Π = ×
= −∇ ⋅
∇ ⋅ =
⋅
Ω
=
λ
ρ
λ
ρ
λρ
ρ
τ
V
V
r
V V
V n
S
ω
(3)
В уравнении (3) и далее штрих опущен. Умножим первое уравне-
ние в выражении (3) на параметр
λ
и, используя второе уравнение,
запишем его в виде
( )
A
g.
⋅ = −
λ
λ
V
(4)
Здесь тензор-оператор
( )
A
λ
есть сумма тензоров:
( )
2
2
,
A
I K N
λ
λ
λ
= + +
,
g p
= ∇ + Ω×
λ
r
где
I
—
единичный тензор;
K
—
гироскопический тензор,
0
0
0 2 0
2
0 0 ;
0 0 0
K
− ⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
ω
ω
2
N
–
тензор плавучести [12],
0 0
2
2
2
2
2
2
0 0
1
2
3
1
2
3
0
0
;
1
1
П
П ;
.
ij
i
j
N
N
x x
∂ ∂
= ∇ ∇ = + +
=
∂ ∂
ρ
ρ
ρ
ρ
l N l N l N N
(5)
Диагональные элементы
2
2
2
11
22
33
( ),
( ),
( )
N r N r N r
тензора плавуче-
сти определяют собственные частоты колебаний отдельной частицы
неоднородной жидкости в направлениях, параллельных осям
1 2 3
,
,
Ox Ox Ox
соответственно.