84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Теорема единственности.
Уравнения Жуковского — Пуанкаре
интегрируемы в квадратурах в самом общем случае, когда матрицы
параметров гамильтониана задачи являются диагональными, т. е.
число независимых элементов матриц параметров гамильтониана за-
дачи Жуковского — Пуанкаре равно девяти.
Следствие 1.
Интегрируемые случаи задачи Жуковского — Пу-
анкаре, открытые Клебшем — Шоттки, Ляпуновым — Стекловым,
Адлером — ван Мербеке, являются частными результатами найден-
ного решения, определяемого условиями теоремы 2.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Если
12 13 12 13
23 23
0
0,
0,
,
1, 2, 3,
i
i
a a b b
a b
b b a i
= = = =
+ = = + =
2 23 1 23 1 23 2 3
,
0,
0,
, ,
1, 2, 3,
ij
c Y c X Y a c c
c
i j i j
= −
+ = = ∀ ≠
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 23
1
3 23
2 3 23
2
3 23
,
,
a a X X X a a a X X X a
−
= −
−
= −
то существует четвертый первый независимый квадратичный инте-
грал
3,1
2
2
const,
V X
Y
Z
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
где элементы матриц
X
,
Y
,
Z
связаны между собой соотношениями
12
13 12 13
23 23
0
0,
0,
,
1, 2, 3,
i
i
X X Z Z
X Z
Z Z X i
= = = =
+ = = + =
12 21 13 31
23 32
0,
0,
Y Y Y Y
Y Y
= = = =
+ =
(
) (
)
2
2
1 1
3
1
1
3
23
2
2
23 3
23
1 23
23 1
2
23
23
23
,
Y X X X X
c
X X
Y Y
Y Y X Y Y
a
X
X
⎡
⎤
−
−
−
⎛
⎞
+
+
= − + +
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
1 1
3
23 23
1
3
2 2
2
3
23
1
23
23
2
23
23
,
X Y X X X X
X X
Y
Y Y Y X
X
X
−
−
−
−
⎛
⎞
+
= − + +
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
(
)
23 2 3
23 3
2
,
X Y Y Y X X
+ =
−
и, следовательно, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются
в квадратурах. Значит, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.
Если
12 23 12 23
13 13
1 2 1 2
0,
0,
,
,
a a b b
a b
a a b b
= = = =
+ = =
=