ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
83
1 3 2 1 2
(123)
2 1 1 2 3 2 2 3 1 3 1 2
1 3 2
(123)
(
)
,
(
)(
)(
)
(
)
B A A
c c A A B B B B c
B A A
θ θ
χ
θ
θ
θ
⎡
⎤ −
⎢
⎥
⎣
⎦
=
⎡
⎤
−
− + −
− +
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
(15)
1 3 2 1 2
(123)
1 2 3 1 2 3
2 1 2 3 1 3
(
)
.
(
)(
)
(
)(
)
B A A
c A A B B c A A B B
θ θ
ζ
χ
θ
θ
⎡
⎤ −
⎢
⎥
⎣
⎦
= +
−
− +
−
−
∑
(16)
Здесь
1
1 1 2 3
3 2 1 3 2 1
(123)
(
)
(
)(
)(
);
d
Y a a a n a a a a a a
α
=
− +
−
−
−
∑
2
1 2 3
3 1 2 3 2 1
(123)
ˆ
(
) (
)(
)(
);
d
Y a a
a a a a a a
η
=
− + −
−
−
∑
3
3
(
)
;
d n
Y
η α μ β
= + + +
(17)
1 2 3 1 2 3
1 2 3
(
)
ˆ
ˆ
,
;
m m
x x x a a a
a a a
η μ β
η
+
=
=
i
Г ,
1, 2, 3;
i
i
c
i
θ
χ
= −
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
1
0
2
2
2
3 1 2
1 2
3
3
ˆ
1 ;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
2
2 .
d
n m n
m n
m m a a a a a
m n a c
α β μ
η
η
η
ηα
ηα
η
−
= ⎡
+ + ⎤
+ − Δ
⎣
⎦
Δ = + − +
⎡
+ − ⎤ +
+ −
⎣
⎦
Следовательно, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются в
квадратурах.
В силу теоремы Стеклова об обращении роли функций гамильто-
ниана и квадратичного интеграла справедлива следующая теорема.
Теорема 2.
Если гамильтониан задачи Жуковского — Пуанкаре
определен выражением
1,2
2
2
const,
H A
Г
B
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
где элементы матриц , ,
A Г B
связаны между собой соотношениями
(6)—(17),
то существует четвертый первый квадратичный интеграл
1,2
2
2
const.
V a
с
b
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
Здесь элементы матриц , ,
a b c
отвечают условиям (6), (8)—(17).
Из теоремы 2 вытекает следующая теорема.