ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
85
13 13 2 1 13 31
12 21 23 32
,
,
0,
0,
c a c c c c
c c c c
=
=
+ =
= = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 13
1
3 13
1 3 13
1 3 13
,
,
a a X X X a b b Z Z Z b
−
= −
−
= −
то существует четвертый первый независимый квадратичный инте-
грал
4,1
2
2
const,
V X
Y
Z
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
где элементы матриц
X
,
Y
,
Z
связаны между собой соотношениями
12
23 12
23
13 13
1
2
1 2
0,
0,
,
,
X X Z Z
X Z
X X Z Z
= = = =
+ =
=
=
12 21 23 32
13 31
13 13 1 2
0,
0,
,
,
Y Y Y Y
Y Y
X Y Y Y
= = = =
+ =
=
=
2 3 13
2 3 13
(
)
(
) ,
Y Y a c c X
+
= +
(
) (
)
(
) (
)
2 2 3 3
2
3 3 2 2 2 3 3
2 3 3 2
,
Y a a c X X Y c Y b b c Z Z Y c
− + = − +
− + = − +
и, значит, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются в квад-
ратурах.
Следствие.
Решение, определяемое теоремой 4, включает в себя
интегрируемый случай, полученный А.В. Борисовым, И.С. Мамае-
вым и В.В. Соколовым [7]. Таким образом, найденные в работе ре-
шения существенно отличаются от классических общих случаев ин-
тегрируемости уравнений тем, что матрицы параметров гамильтони-
ана являются недиагональными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, напол-
ненные однородной капельной жидкостью: cобр. соч. Т. 1. М., 1949.
2.
Моисеев Н.Н. , Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержа-
щими жидкость М.: Наука, 1965.
3.
Scho ttky F. Über das analytisćhe Problem der Rotation eines starren Körpers
in Raume von vier Démensionen. Sitzungsber. König. Preuss. Akad. Wiss. Ber-
lin, 1891. Bd. XII. S. 227—232.
4.
Бабенко А.Н. Уравнения Эйлера на алгебрах e(3) и so(4). Изоморфизм
интегрируемых случаев // Функ. ан. и его прил. 1986. Т. 20 № 1. С. 64—66.
5.
Stek loff V.A. Sur le movement d’un corps solide ayant une cavite de forme
ellipsoidale remple par variations des latitudes. Ann. de la fac. des Sci.: de Tou-
louse. Ser. 3, 1909. Vol. 1.
6.
Ad ler M., van Moerbeke P. The algebralic integrability of geodesic flow
on so(4), Invent. math., 1982. V. 67. P. 297—331.
7.
Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Москва; Ижевск:
РХД, 2001.
Статья поступила в редакцию 14.09.2012