82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
13
2
2
1 2 3
1 2
1 2
13 31
13
(123)
13
1 2 3
1 2
1 2
13
(123)
1 13 13 1 2 13 2 13
3 31 31 3 2 13 2 13 13 31
31 13
,
(
) 0,
(
),
(
) 0,
(
),
,
,
,
c
c c
a A A
a a
A A
Г
c
b B B
b b
B B
Г
c Г c Г с A Г a
c Г c Г с A Г a
c
c
=
− =
− =
−
− =
− =
−
− = −
− = −
=
∑
∑
Γ
Γ
(6)
то существует четвертый первый независимый квадратичный инте-
грал
1,1
2
2
const,
V A
B
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
Γ
(7)
где элементы матриц
, ,
A B Г
определяются выражениями
12 23 12 23 12
21
23
32
2
2 2
2
13
31 13 13
0,
,
,
A A B B Г Г Г Г
Г Г А B
= = = = = = = =
=
=
(8)
(
) ,
,
const,
i
i
i i
i
c X c
Y
= + + +
=
Γ
χ
μ
χ μ
1 3
1 3
(
)
,
a a A A
χ
− = −
(9)
0
0
1 ,
,
const,
B
b
ζ
ζ
ζ ζ
= ⋅ + ⋅
=
(10)
причем
1 2 3
, , , , , , , , ,
,
m n Y Y Y
α β η μ χ ζ
можно найти следующим
образом:
(
) (
) (
) (
)
2
2
1
2 2 0
1 3 3 2 1 2
ˆ
1
ˆ
,
,
ˆ
m n
d
d d d m a a a a a a
m
+ +
= −
=
−
−
−
η
ηα
ηα
(11)
(
)
(
)
(
)
2
3
3 3
0
3 3
ˆ
ˆ
1 ,
d X c
d m c a m n
μ
ηα
η
+
+ =
+ + + +
(12)
(
)
( )
(
) (
) (
)
(
)
( )
(
) (
) (
)
1 1 2 3
123
2
1 3 3 2 2 1
1 3 2
123
1 3 3 2 2 1
ˆ
,
ˆ
,
c a a a
m n
a a a a a a
c a a
m
a a a a a a
η
ηα
−
+ =
−
−
−
−
=
−
−
−
∑
∑
(13)
2 3 2 1 3 3 1
3 1 1 2 3 3 2
(
) (
) (
) (
) 0,
B B c c
B B c c
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
− + −
− =
(14)