ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
81
1,1
2
2
const,
V X
Y
Z
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R R
(4)
где
, ,
X Y Z
—
матрицы 3 3,
×
причем
,
X Z
—
симметричные
матрицы.
Квадратичная форма (4) будет являться первым интегралом урав-
нений (2)—(3), если первая производная по времени от параметра
,
V
составленная в соответствии с уравнением движения, тождественно
равна нулю.
Согласно уравнениям (2)—(3), находим
2
[ (
)] [
(
)
(
)
(
)] [
(
)
(
)
(
)]
[ (
)] 0,
,
0.
V X Y
Y Z
a X c X
Y
a
c Y Y b
c Z
c Y
b Z
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅ ⋅
+
+ ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+
+ ⋅
⋅
≡ ∀ ≠
P P R P P R R R
P P P R P P R P P
R P P P R R P R R P R R
R R R P R
i
i
i
i
(5)
Поскольку в соотношение (5) параметры гамильтониана
( , , )
H a b c
и
квадратичного интеграла ( , , )
V X Y Z
входят симметрично, справед-
лива теорема Стеклова. Если для уравнений движения Жуковского —
Пуанкаре известен общий случай интегрируемости с четвертым
квадратичным интегралом
const,
V
=
то для этих уравнений можно
указать еще один случай интегрируемости, поменяв местами роли
функций
H
и :
V
(1)
(2)
(1)
(2)
,
.
V H
H V
→
→
Покажем, что существуют новые интегрируемые случаи при
наличии в гамильтониане уравнений Жуковского — Пуанкаре мат-
риц общего недиагонального вида.
Примечание.
Везде далее символ
(123)
∑
означает, что сумма состоит из
членов, полученных круговой перестановкой индексов; диагональные эле-
менты матриц имеют один индекс.
Теорема 1.
Если
1
,
i
i
i
c
na mX
β
−
= + +
1
,
i
i
X
a
α η
−
= +
i
= 1, 2, 3, , , , ,
n m
α β
η
=
const,
12 23 12 23 12 21 23 32
13
13
13
13 13
13
13
13
0,
,
,
a a b b c c c c
c
c
a
A b
B
Г
Г
= = = = = = = =
=
=