80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
тельный интеграл. Известны три общих случая интегрируемости
уравнений Жуковского — Пуанкаре с четвертым первым дополни-
тельным интегралом.
Эти классические решения характеризуются следующими усло-
виями.
1.
Случай Клебша —Шоттки [3, 4, 7]:
0,
, ,
1, 2, 3,
ij
ij
ij
a b c
i j i j
= = = ∀ ≠
=
,
1, 2, 3,
i
i
a b i
= =
2
2
2
2 3
3 1
1 2
1 2 2 3 3 1
1
2
3
(
)
(
)
(
) (
)(
)(
) 0.
c a a c a a c a a a a a a a a
− + − + − + −
−
− =
2.
Случай Ляпунова — Стеклова [4, 5, 7]:
0,
, ,
1, 2, 3,
ij
ij
ij
a b c
i j i j
= = = ∀ ≠
=
2 2 2 2 2 2
2 3 1 3 1 2
diag (
,
,
),
a
λ λ
λ λ
λ λ
=
2 2
2 2
2 2
2 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
diag (
),
(
),
(
) ,
c
λ λ λ
λ
λ λ λ
λ
λ λ λ
λ
⎡
⎤
=
+
+
+
⎣
⎦
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 3
1 3
1 2
diag (
) , (
) , (
) .
b
λ
λ
λ
λ
λ
λ
⎡
⎤
=
+
+
+
⎣
⎦
3.
Случай Адлера — ван Мербеке [6, 7]:
0,
, ,
1, 2, 3,
ij
ij
ij
a b c
i j i j
= = = ∀ ≠
=
2 2
1 2 3
2
, , ,
1, 2, 3;
0,
3
i
ijk j
k
a
i j k
ε λ λ
λ
λ
λ
= −
=
+ + =
4 2 2
2 2
(
) (
) ,
i
ijk
j
k
k
i
j
j
k
c
ε
λ
λ λ
λ
λ
λ
λ
⎡
⎤
=
+ − +
+
⎣
⎦
4
2
2
2
5
(
) ,
3
4
i
ijk i
j k j
k
j k
b
ε
λ
λ λ λ
λ
λ λ
⎡
⎤
=
−
+ +
⎢
⎥
⎣
⎦
где символ
ijk
ε
означает круговую перестановку индексов.
Следует обратить внимание, что в классических решениях недиаго-
нальные элементы матриц гамильтониана уравнений Жуковского —
Пуанкаре равны нулю:
0,
, ,
1, 2, 3.
ij
ij
ij
a b c
i j i j
= = = ∀ ≠
=
В общих случаях интегрируемости уравнений (2) — (3) с четвер-
тым первым квадратичным интегралом справедлива теорема Стекло-
ва об обращении роли функций гамильтониана и квадратичного ин-
теграла.
Проведем доказательство этой важной теоремы. Следуя Стекло-
ву, будем искать квадратичный интеграл в виде