ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
79
УДК 531.38
Ю.Д. П л е ш а к о в , Е.А. Б р у с е н ц о в а
НОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ В ЗАДАЧЕ
ЖУКОВСКОГО О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО
ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Найден ряд новых интегрируемых случаев уравнений Жуковского —
Пуанкаре. Существенное отличие найденных решений от классических
общих случаев интегрируемости уравнений состоит в том, что матри-
цы параметров гамильтониана являются недиагональными. Показано,
что в случае, когда матрицы параметров диагональные, все девять па-
раметров матриц независимы и, следовательно, полученные решения со-
держат как частные результаты классические случаи интегрируемо-
сти Клебша —Шоттки, Ляпунова — Стеклова, Адлера — ван Мербеке.
E-mail:
udpleshakova@mail.ru
Ключевые слова
:
твердое тело с эллипсоидальной полостью; уравне-
ние Жуковского — Пуанкаре; задачи Клебша — Шоттки, Ляпунова —
Стеклова, Адлера — ван Мербеке; интегрируемые случаи.
Работа посвящена классической проблеме интегрируемости
уравнений Жуковского — Пуанкаре. Специальными случаями урав-
нений Жуковского — Пуанкаре являются:
уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью,
заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей од-
нородное вихревое движение, — задача Жуковского;
уравнения движения, описывающие динамику взаимодействую-
щих спинов, — классические модели Гейзенберга.
Гамильтониан уравнений Жуковского — Пуанкаре определяется
выражением [1, 2]
2
2
const,
H a
c
b
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
P P R P R P
(1)
где , ,
a b c
—
матрицы
3 3
×
,
причем ,
a b
—
симметричные матрицы.
Уравнения движения можно представить следующим образом:
,
P
H
a
c
= ⋅ ∇ ⇒ = ⋅
+ ⋅
P P
P P P P R
i
i
(2)
R
H
= × ∇ ⇒
R R
i
.
c b
= ⋅
+ ⋅
R R P R R
i
(3)
Уравнения (2)—(3) имеют три первых интеграла
2
2
const,
const,
const.
H a
c
b
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ =
⋅ =
P P R P R R
P P
R R
Для интегрируемости гамильтоновой системы (1)—(3) по Лиу-
виллю достаточно найти четвертый первый независимый дополни-