ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
71
Тогда система уравнений (2) принимает вид
1
1
(1 )
,
k
k
k
n
n
n
s
s
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
= − +
(3)
1
1
(1 )
,
k
k
k
n
n
n
s
s
ψ
ψ
ψ
+
+
= − +
(4)
где
/
s a h
τ
=
—
критерий Куранта [12].
Формулы (3) и (4) позволяют определить функции
ϕ
и
ψ
на
очередном временном ( 1)-слое
k
+
через их известные значения на
предыдущем временном слое. Выражение (3) справедливо для сече-
ний
2,
1,
n N
= +
а выражение (4) — для
1, .
n N
=
Возвращаясь к переменным
, ,
v p
из уравнений (3) и (4) находим
зависимости, связывающие давление и скорость на границах (
1
n
=
и
1
n N
= +
)
трубы:
1
1
1
1
1 1
2 2
(1 )(
) (
),
k
k
k
k
k
k
a v
p
s a v p s a v p
ρ
ρ
ρ
+
+
− = −
− +
−
(5)
1
1
1
1
1
1
(1 )(
) (
),
k
k
k
k
k
k
N N
N
N
N
N
a v
p
s a v
p
s a v p
ρ
ρ
ρ
+
+
+
+
+
+
− = −
+
+
+
(6)
а также в ее промежуточных ( 2, )
n N
=
сечениях:
1
1
1
1
1
(1 )
(
)
,
2
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
s
p p s
a v v
p p
ρ
+
−
+
−
+
⎡
⎤
= − +
− + +
⎣
⎦
(7)
1
1
1
1
1
1
(1 )
(
) .
2
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
s
v
v s
v v
p p
a
ρ
+
−
+
−
+
⎡
⎤
= − +
+ +
−
⎢
⎥
⎣
⎦
(8)
Решение разностных уравнений (3) и (4) будет устойчивым и при-
ближающимся к решению системы (2) при условии, что критерий
Куранта
1
s
≤
[11].
Применим рассмотренную разностную схему решения к случаю
нестационарного течения жидкости в трубе, которая на входе
( 1)
n
=
подсоединена к емкости (трубопровод акустически открыт — давле-
ние
1
0),
p
=
а на выходе у нее (
1)
n N
= +
находится клапан, пере-
крывающий проходное сечение трубы таким образом, что расход
уменьшается от первоначального значения
0
G
до нуля в соответ-
ствии с известным линейным законом. Тогда из выражений (5) и (6)
для крайних сечений трубы
1
1
1
2
2
(1 )
,
k
k
k
k
F
G
s G s G p
a
+
⎛
⎞
= − + − ⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
1
1
1
1
(1 )
,
k
k
k
k
k
k
N N
N
N
N
N
a
a
a
p
s
G p
s G p
G
F
F
F
+
+
+
+
+
+
⎛
⎞ ⎛
⎞
= −
+
+
+ −
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠