70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
0
,
p
которые были в момент времени перед началом закрытия клапана;
ρ
—
плотность жидкости в невозмущенном потоке;
a
—
эффективная
скорость звука в потоке с учетом упругости стенок трубы, определяемая
для цилиндрической трубы,
/ (
)
a c E E D
δ
δ
ε
=
+
(
c
—
скорость звука
в бесконечном объеме жидкости;
D
и
δ
—
диаметр и толщина стенки
трубы;
E
и
ε
—
модули упругости материала стенки и жидкости).
В уравнении движения не учитывается гидравлическое сопротив-
ление трения трубы, поскольку расходные магистрали жидкостных
ракет, как правило, имеют значительную длину и большой диаметр.
В таких магистралях скорость потока небольшая и гидравлическое
сопротивление незначительно [5]. Это позволяет сравнить результа-
ты, получаемые по предлагаемой методике, с данными, получаемыми
по формулам Жуковского и Мишо [4, 7] для прямого и непрямого
гидроударов соответственно.
Обозначив площадь проходного сечения
,
F
массовый расход
G vF
=
ρ
и вводя переменные
,
,
G p
G p
F a
F a
ϕ
ψ
= +
= −
систему уравнений (1) представим в виде
0,
0.
a
t
x
a
t
x
ϕ
ϕ
ψ
ψ
∂
∂
+
=
∂ ∂
∂
∂
−
=
∂
∂
(2)
Построим разностный аналог уравнений (2). Для этого использу-
ем разностную схему, в соответствии с которой однородную трубу
длиной
l
разобъем вдоль своей продольной оси
x
на
N
элементов
одинаковой длины
/ .
h l N
=
Время
t
также разобъем на слои, отсто-
ящие один от другого на шаг
.
τ
Обозначим через
k
номер слоя по
времени
,
t
через
n
—
номер сечения по оси
.
x
Неизвестные функции
ϕ
и
ψ
на
k
-
м временном слое в сечении
n
обозначим
,
k
n
ϕ
.
k
n
ψ
Частные производные запишем следующим об-
разом:
1
,
k
k
k
n
n
n
t
ϕ
ϕ
ϕ
τ
+
∂
−
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂
1
,
k
k
k
n n
n
x
h
ϕ
ϕ
ϕ
−
∂
−
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂
1
,
k
k
k
n
n
n
t
ψ
ψ
ψ
τ
+
∂
−
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂
1
.
k
k
k
n
n
n
x
h
ψ
ψ
ψ
+
∂
−
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂