ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
47
множестве
Ω
с границей
,
Ω
δ
которые определены с помощью вы-
ражений (1), (2), можно получить зависящие от величины
u
били-
нейные формы
(
)
, :
u
a y V V
ϕ
× →
\
и
(
)
( )
( )
2
2
, :
,
u
b y L
L
ϕ
Ω × Ω →
\
порожденные операторами (4) и (5) соответственно.
Прямую задачу (3)—(7) можно записать в эквивалентной слабой
форме: найти пары
(
)
{ }
{
}
,
\ 0
y
V
λ
∈ ×
\
,
удовлетворяющие уравне-
нию
(
)
(
)
,
,
,
.
u
u
a y
b y
V
ϕ
λ
ϕ
ϕ
=
∀ ∈
(12)
Далее свободные колебания упругого тела будем описывать уравне-
нием (12). Наименьшее собственное значение
( )
*
1
u
λ
λ
=
задачи (12)
можно определить следующим образом [17]:
( )
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
*
inf
,
/
,
,
0
inf
,
,
,
1 .
u
u
u
u
u
a y y b y y y V y
a y y y V b y y
λ
=
∈ ≠ =
=
∈
=
Задача оптимального проектирования формулируется как задача
максимизации целевого функционала (8) на множестве
*
ad
U
⊂
( )
2
L
Ω
:
найти
( )
( )
{
}
*
1
sup
ad
J u u U H
∈ ∩ Ω
.
( )
P1
В общем случае задача (P1) не имеет решений на множестве
*
ad
U
.
Для того чтобы гарантировать существование оптимальных решений,
воспользуемся методикой регуляризации, т. е. добавим к критериаль-
ному функционалу (8) регуляризирующий член [12]
( )
( )
1
2
1
2
H
r u
u
ε
ε
Ω
= −
,
(13)
где
0
ε
>
—
параметр регуляризации. Таким образом, сформулирова-
но семейство регуляризированных задач оптимального проектирова-
ния упругого тела: найти
( )
( )
{
}
*
1
sup
ad
J u r u U H
+ ∈ ∩ Ω
ε
.
( )
P1
ε
Рассмотрим общий случай, когда низшее собственное значение
прямой задачи (12) является кратным. Это означает, что целевые
функционалы в задачах
( )
P1 и
( )
P1
ε
не всюду дифференцируемы по
переменной
.
ad
u U
∈
Дискретизацию задачи
( )
P1
ε
проведем с ис-
пользованием метода конечных элементов. Область
2
Ω ⊂
\
разобъ-
ем на прямоугольные элементы
,
1, ..., ,
i
K i
I
=
так что
1
.
I
i
i
K
=
Ω =
∪