46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
(
)
(
)
(
)
3
3
3
11
22
11
11
22
22
u
A u y
u y
u y
ν
=
+
+
+
(
)
(
)
(
)
3
3
22
12
11
12
2 1
,
u y
u y
ν
ν
+
+ −
(4)
где
(
)
2
/
,
ij
i
j
y
y x x
= ∂ ∂ ∂
0
/
, ,
1, 2;
j
j
y
y x i j
= ∂ ∂
=
ν
—
коэффициент
Пуассона, 0 0,5.
ν
< <
Оператор
u
B
определяется следующей формулой:
.
u
B y uy
=
(5)
Граничные условия имеют вид
10
1
0,
0, ;
y y
x a
= =
=
(6)
22
2
0,
0, .
y y
x
b
= =
=
(7)
Пусть
( )
1
*
u
=
λ
λ
есть наименьшее собственное значение, удовле-
творяющее уравнению (3). Требуется найти такую функцию ,
u
кото-
рая максимизирует целевой функционал
( )
( )
*
J u
u
λ
=
(8)
при ограничениях
1
2
,
c u c
≤ ≤
(9)
3
.
udx c
Ω
=
∫
(10)
Здесь
, 1,3,
i
c i
=
—
суть заданные константы,
1 2
0
,
c c
< <
3
0 .
c
<
Рассмотрим слабые решения задачи (3)—(7). Введем обозначения
( )
{
}
1
2
10
*
1
2
3
0,
0 ,
,
,
ad
V v H v
v
U u U c u c udx c
∂Ω
∂Ω
Ω
= ∈ Ω =
=
⎧
⎫
⎪
⎪
= ∈ < <
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
∫
(11)
где
V
—
линейное подпространство пространства
( )
2
;
H
Ω
( )
m
H
Ω
—
пространство Соболева порядка
m
,
наделенное нормой
( )
m
H
Ω
⋅
;
( )
U L
∞
= Ω
—
пространство существенно ограниченных функций.
Постоянные
1 2 3
, ,
c c c
в выражениях (9), (10) выбирают так, чтобы
множество допустимых функций
*
ad
U
было непусто. Обозначив че-
рез
( )
2
L
Ω
пространство функций, интегрируемых с квадратом на