200
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
и расчет давления воздуха на опорные поверхности выполняем с ис-
пользованием сферической системы координат. Координаты ортов
окружного, меридионального и радиального направлений
, ,
θ φ r
e e e
соответственно определяем через базис декартовой системы коорди-
нат
, ,
x y z
i i i
матрицей преобразования координат
P
:
( )
cos cos cos sin sin
sin
cos
0
,
.
sin cos sin sin cos
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
ϕ θ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
⎧ ⎫
⎧ ⎫
⎧ ⎫
−
⎡
⎤
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢
⎥
= −
=
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩ ⎭
⎩ ⎭
⎩ ⎭
θ
x
x
φ
y
y
r
z
z
e
i
i
e
i
P i
e
i
i
(3)
При принятых физических допущениях (после пренебрежения
величинами порядка
4
/
10 1)
h R
−
≈
состояние аэростатического
слоя теории газовой смазки описывается
уравнением Рейнольдса
[4]:
3
2
div grad
h
p
μ
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
(
)
[
]
2
2
1
под
12 2
grad div
,
r
t
t
K p p
V p p
h h p
= −
− −
−
−
V
V
(4)
где
h
—
аэростатический зазор;
μ
—
коэффициент динамической
вязкости воздуха;
p
—
абсолютное давление воздуха;
1
K
—
коэффи-
циент, учитывающий наличие наддува;
r
V
= ⋅
0
r
V e
—
нормальная про-
екция скорости поверхности шпинделя
0
V
;
t
θ θ
= ⋅
+ ⋅
φ φ
V V e e V e e
—
вектор касательной скорости поверхности корпуса.
Коэффициент
1
K
,
учитывающий наличие наддува, определяется
через толщину вставки
δ
и коэффициент проницаемости материала
вставки
p
k
следующим образом:
( )
0
1
,
,
12
p
k
K
ϕ θ
μδ
=
где
( )
0
,
p
k
ϕ θ
—
переменный коэффициент проницаемости материала
стенки корпуса,
( )
0
где есть вставка;
где нет вставки.
0,
,
,
p
p
k
k
ϕ θ
⎧
=
⎨
⎩
Уравнение (4) в данной работе называется стационарным, потому
что в нем отсутствует слагаемое
p
t
∂
∂
,
учитывающее зависимость дав-
ления от времени.