184
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Возмущение кривизны при этом определяется [6] выражением
( )
2
2
2
2
1
Δ æ
.
d
R d
ξ
ξ
ϕ
⎛
⎞
= − +
⎜
⎟
⎝
⎠
(23)
Для рассматриваемого случая (12) принимает вид
(
)
2
T
T
0
0 0 0
0
0
2
T
0 0 0
0
Δ
Δ
Δ
.
d
d
π
π
λ
ϕ
λ
ϕ
−
=
∫
∫
v Ay v By
v B y
(24)
Проводя вычисления с учетом (18)—(23), получим
2
2
2
0
1
4 1
2
cos (2 )
.
1
k
k
d
R
k
π
Δλ
ξ
ϕ
ϕ
λ
π
⎡
⎤
−
= −
+
⎢
⎥
⎣
⎦
+
∫
(25)
Из (25) следует, что только две гармоники разложения
( )
ξ ϕ
воз-
мущают
λ
.
Нулевая (осесимметричная) гармоника изменяет
λ
(
при
большем радиусе кольца частота меньше), но не приводит к расщеп-
лению. Расщепление возникает при возмущениях вида
( )
(
)
2
cos 2 (
)
k
k
ξ ϕ
ξ
ϕ α
=
−
.
(26)
Угол
α
в (26) описывает положение формы колебаний относи-
тельно одной из осей симметрии искаженного кольца. Согласно ска-
занному выше, из всех значений, полученных подстановкой (26) в
(25),
следует выбрать экстремальные значения. Очевидно, что эти
значения получают при
( )
2
j
k
α
π
=
:
2
2
min
2
0
2
max
2
2
0
Δ
4 1 ,
1
Δ
4 1 .
1
k
k
k
R k
k
R k
ξ
λ
λ
λ
ξ
λ
− = −
+
− = +
+
Тогда, согласно (13), расщепление круговой частоты по отноше-
нию к частоте невозмущенной системы
2
max min
max min
2
2
0
0
4 1
2
1
k
p p
k
p
R k
λ
λ
ξ
λ
−
−
−
=
=
+
.
Для наиболее распространенного на практике случая
2
k
=
полу-
чаем
4
max min
0
3
p p
p
R
ξ
− =
.