ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2012
179
Системы (5) и (6) можно представить [6] в блочном виде:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
11
12
1
2
21
22
2
,
d
dx
⎛ ⎞ ⎡
⎤ ⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠ ⎣
⎦ ⎝ ⎠
y
F F y
y
F F y
(7)
где скалярное произведение векторов
[ ] [ ]
T
1 2
y y
пропорционально работе:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
T
T
1
11
12
1
T
T
2
2
21
22
.
d
dx
⎡
⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎢
⎥
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣
⎦
v
F F v
v
v
F F
(8)
Блоки матрицы
F
обладают следующими свойствами симмет-
рии [6]:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
T
T
T
11
22
12
12
21
21
,
,
= −
=
=
F F
F F
F F
.
В силу этого систему (8) можно переписать:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
22
12
1
2
21
11
2
.
d
dx
⎛
⎞ ⎡
⎤ ⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎢
⎥
⎝
⎠ ⎣
⎦ ⎝
⎠
v
F F v
v
F F v
(9)
Сопоставляя (7) и (9), для решения сопряженной системы (9) по-
лучаем
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
2
1
.
−
⎛ ⎞ ⎛
⎞
=
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
v
y
v
y
(10)
Например, для балки векторы решений исходной и сопряженной
систем имеют вид
{
}
{
}
T
T
,
,
,
;
,
,
,
,
v
Q M
Q M v
ϑ
ϑ
=
= − −
y
v
(11)
где
v
—
перемещение;
ϑ
—
угол поворота;
Q
—
поперечная сила;
M
—
изгибающий момент в произвольном сечении.
Обозначим через
Δ
A
и
Δ
B
возмущения матриц
A
и
B
,
с после-
дующими формальными подстановками операторов уравнения (4) в
(3)
получим выражение для
Δ
λ
,
т. е. для возмущения собственного
значения
λ
:
(
)
T
T
0
0 0 0
0
0
T
0 0 0
0
Δ
Δ
Δ
l
l
dx
dx
λ
λ
−
=
∫
∫
v Ay v By
v B y
,
(12)
где индексом 0 обозначены невозмущенные величины.