178
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
В общем случае для самосопряженных линейных операторов
,
T G
задача на собственные значения имеет вид [4]
λ
=
Tu Gu
,
(1)
где ,
T G
—
линейные самосопряженные операторы;
u
—
собствен-
ный вектор;
λ
—
соответствующее собственное значение.
Возмущения
( )
1
λ
собственного значения
λ
,
вызванного малыми
возмущениями операторов ,
T G
,
определим с помощью выражения
[4]
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
,
,
λ
λ
−
=
T G u u
Gu u
,
(2)
в котором верхним индексом отмечены возмущения.
В случае несамосопряженных операторов выражение (2) прини-
мает вид [5]
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
1
1
1
,
,
λ
λ
−
=
T G u v
Gu v
,
(3)
где
v
—
сопряженное решение.
В одномерных задачах механики систему уравнений для опреде-
ления собственных векторов (форм свободных колебаний) можно за-
писать следующим образом:
d
dx
λ
= −
y Ay By
.
(4)
Здесь
2
p
λ
=
—
квадрат собственной круговой частоты системы;
y
—
собственный вектор системы (вектор амплитуд обобщенных
перемещений и обобщенных внутренних сил в произвольном сече-
нии системы);
,
A B
—
квадратные матрицы.
Для определения сопряженного решения необходимо рассмот-
реть сопряженную систему. Представляя (4) в виде
;
d
dx
λ
=
= −
y Fy F A B
,
(5)
получим сопряженную систему [5]
T
d
dx
= −
v F v
,
(6)
где
v
—
вектор сопряженного решения.