180
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Очевидно, что (12) дает лишь линейную часть приращения
λ
.
Возмущение круговой частоты связано с
Δ
λ
следующим образом:
( )
(
)
2
2
2
0
0
0
0
Δ Δ
Δ
2
Δ ;
Δ Δ
,
2
p p p p p p
p
p
λ
λ
=
= + − ≈
=
(13)
где
0
p
—
собственная круговая частота невозмущенной системы.
Если
0
λ
не является кратным корнем, то решение (12) даст одно
определенное значение. Кратным корням соответствует не один
собственный вектор, а семейство собственных векторов. Следова-
тельно, для кратных
0
λ
выражение (12) будет давать некоторый
диапазон значений: его границы — экстремальные значения
min
,
λ
max
λ
являются двумя значениями, на которые расщепляется
0
λ
при
возмущении коэффициентов системы уравнений (7). То, что из все-
го интервала нужно выбирать именно экстремальные значения, сле-
дует из свойств отношения Рэлея [7, 8]. Очевидно, что экстремаль-
ные значения лежат на границах полученного из выражения (12)
интервала.
Согласно (13), собственные круговые частоты равны:
min
min
0
0
max
max
0
0
Δ ;
2
Δ .
2
p p
p
p p
p
λ
λ
= +
= +
(14)
Тогда искомая величина расщепления круговой частоты
max
min
max min
0
Δ Δ
2
p p
p
λ
λ
−
− =
.
(15)
Для расчета частот и форм свободных колебаний неидеального
кольцевого резонатора (рис. 1) воспользуемся известными уравнени-
ями малых колебаний плоского криволинейного стержня в собствен-
ной плоскости [9]. В этом случае собственный вектор
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
T
1
3
2
1
3
2
Q Q M u
u
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϑ ϕ
=
y
, (16)
где
ϕ
—
угловая координата произвольного сечения резонатора (см.
рис. 1);
1
3
2
,
,
Q Q M
—
проекции главного вектора
Q
и главного
момента
M
внутренних сил в произвольном сечении резонатора на