уравнения (8) используется метод регуляризации Тихонова [5]. Здесь
и далее будем использовать обозначения
x
= (
x
1
,
x
2
)
и
y
= (
y
1
,
y
2
)
для
аргументов функций яркости
X
(
x
1
,
x
2
)
=
X
(
x
)
и
Y
(
y
1
,
y
2
)
=
Y
(
y
)
.
Возможные обобщения ядра
K
могут быть получены при совмест-
ном действии искажающих факторов (плохая видимость, движение,
дефокусировка), а также cучетом распределения яркости в пятне рас-
сеяния на изображении произвольной точки объекта. Ядро уравнения
(8)
можно обобщить в виде:
K
(
x
−
y
)
=
A
(
ρ
)
πρ
2
0
θ
(
ρ
2
α
−
ρ
2
)
+
B
(
τ
)
ατ
δ
(
x
1
−
y
1
)
θ
(
y
2
−
x
2
)
θ
(
x
2
−
y
2
+
ατ
)
,
где
ρ
2
= (
x
1
−
y
1
)
2
+ (
x
2
−
y
2
)
2
.
Ядро уравнения (8) зависит только от разности аргументов
x
−
y
,
следовательно, интеграл в правой части уравнения представляет собой
свертку функций
K
(
z
)
и
Y
(
z
)
:
[
K Y
](
x
)
≡
ZZ
dy
1
dy
2
K
(
x
−
y
)
Y
(
y
)
.
При фурье-преобразовании свертки двух функций получим произ-
ведение их спектров. В результате интегральное уравнение (8) пре-
образуется в алгебраическое уравнение, связывающее спектры иско-
мой (
Y
)
и заданной (
X
)
функций:
˜
X
(
k
)
= ˜
K
(
k
)
˜(
k
)
,
(9)
где спектры функций связаны с оригиналами обратным преобразова-
нием Фурье:
Y
(
x
)
≡
1
(2
π
)
2
ZZ
dk
1
dk
2
e
−
ikx
Y
(
k
)
.
Решение уравнения определяет спектр искомой функции:
˜
Y
(
k
)
=
˜
X
(
k
)
˜
K
(
k
)
.
(10)
Решение (10) может оказаться неограниченной функцией в окрест-
ности нулей функции ядра
˜
K
(
k
)
= 0
.
Для корректного решения обрат-
ной задачи используется метод регуляризации.
Сформулируем задачу (8) в виде поиска минимума следующего
функционала:
M
0
[
Y
]
=
ZZ
dx
1
dx
2
[
X
(
x
)
−
[
K Y
](
x
)]
2
= 0
.
(11)
Метод регуляризации при решении уравнения (8) реализуется за-
меной задачи минимизации (11) аналогичной задачей для дополнен-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
209
